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漸化式 a_(n+1)=a_n/2+p/a_n

数列

風変わりな数列の漸化式を紹介します．

$a_{n+1} = \frac{a_n}{2} + \frac{p}{a_n} \ \ldots (1)$

$(1)$ は， $p ＞ 0, a_n ＞ \sqrt{2p} \ ＞ 0$ という制限付きであれば，以下のように解くことができます．

まず， $(1)$ から次の２つの式を導出します．

$a_{n+1} - \sqrt{2p} = \frac{a_n}{2} + \frac{p}{a_n} - \sqrt{2p} \ \ldots (2)$

$a_{n+1} + \sqrt{2p} = \frac{a_n}{2} + \frac{p}{a_n} + \sqrt{2p} \ \ldots (3)$

$(3)$ の左辺と右辺が等しいことに着目して， $(2)$ の左辺と右辺を $(3)$ の左辺と右辺でそれぞれ割り，次式を得ます．

$\frac{a_{n+1} - \sqrt{2p}}{a_{n+1} + \sqrt{2p}} = \frac{ \frac{a_n}{2} + \frac{p}{a_n} - \sqrt{2p}}{ \frac{a_n}{2} + \frac{p}{a_n} + \sqrt{2p} } \ldots (4)$

$(4)$ の右辺の分母分子に $2a_n$ をかけて整理すると次式を得ます．

$\frac{a_{n+1} - \sqrt{2p}}{a_{n+1} + \sqrt{2p}} = \left( \frac{a_n - \sqrt{2p}}{a_n + \sqrt{2p}} \right)^2 \ \ldots (5)$

ここで， $b_n = \frac{a_n - \sqrt{2p}}{a_n + \sqrt{2p}}$ とおくと， $(5)$ は次式になります．

$b_{n+1} = b_n^2 \ \ldots (6)$

$(6)$ の両辺の自然対数をとると，次式を得ます．

$\ln{b_{n+1}} = 2 \ln{b_n} \ \ldots (7)$

ここで， $c_n = \ln{b_n}$ とおくと， $(7)$ は次式となります．

$c_{n+1} = 2c_n \ \ldots (8)$

$(8)$ より， $c_n$ は公比２の等比数列であるとわかります．そこで，初項を $c_1$ とすると，次式が成り立ちます．

$c_n = c_1 \cdot 2^{n-1} \ \ldots (9)$

$c_1 = \ln{b_1} = \ln{ \frac{a_1 - \sqrt{2p}}{a_1 + \sqrt{2p}}} \ \ldots (10)$

$(9), (10)$ を $c_n = \ln{b_n}$ に代入すると，

$2^{n-1} \ln{ \frac{a_1 - \sqrt{2p}}{a_1 + \sqrt{2p}} } = \ln{b_n}$

$b_n = \left( \frac{a_1 - \sqrt{2p}}{a_1 + \sqrt{2p}} \right) ^{2^{n-1}} \ \ldots (11)$

$(11)$ を $b_n = \frac{a_n - \sqrt{2p}}{a_n + \sqrt{2p}}$ に代入すると， $a_n$ が求まります．

$a_n = - \frac{\left( \frac{a_1 - \sqrt{2p}}{a_1 + \sqrt{2p}} \right) ^{2^{n-1}} +1}{ \left( \frac{a_1 - \sqrt{2p}}{a_1 + \sqrt{2p}} \right) ^{2^{n-1}} -1 } \sqrt{2p}$

作者: チャート研究所
出版社/メーカー: 数研出版
発売日: 2018/02/01
メディア: 単行本
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