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三角形の外心の座標

平面図形

直交座標平面上の３点 { \displaystyle \rm A}{ \displaystyle (x_1,y_1) }，{ \displaystyle \rm B }{ \displaystyle (x_2,y_2) }，{ \displaystyle \rm C }{ \displaystyle (x_3,y_3) } からなる三角形 { \displaystyle \rm ABC } の外心の座標 { \displaystyle \rm O }{ \displaystyle (p,q) } を求めます．

 

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 ３点 { \displaystyle \rm A }，{ \displaystyle \rm B }，{ \displaystyle \rm C } はいずれも点 { \displaystyle \rm O } を中心とする外接円上にあります．ゆえに，外接円の半径を { \displaystyle R } とすると，次の３つの式が成り立ちます．

{ \displaystyle (x_1-p)^2+(y_1-q)^2=R^2 }

{ \displaystyle (x_2-p)^2+(y_2-q)^2=R^2 }

{ \displaystyle (x_3-p)^2+(y_3-q)^2=R^2 }

これらの式を連立して解くと，

{ \displaystyle p= \frac{(y_3-y_2) \{ (x_2^2-x_1^2)+(y_2^2-y_1^2) \} -(y_2-y_1) \{ (x_3^2-x_2^2)+(y_3^2-y_2^2) \} }{2 \{ (y_3-y_2)(x_2-x_1)-(x_3-x_2)(y_2-y_1) \} } }

 

{ \displaystyle q= \frac{(x_2-x_1) \{ (x_3^2-x_2^2)+(y_3^2-y_2^2) \} -(x_3-x_2) \{ (x_2^2-x_1^2)+(y_2^2-y_1^2) \} }{2 \{ (y_3-y_2)(x_2-x_1)-(x_3-x_2)(y_2-y_1) \} } }

 

となり，外心の座標 { \displaystyle \rm O } を求めることができます．

 

 

 


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