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Johnson の定理

平面図形

アメリカ生まれの幾何学者 Roger Arthur Johnson(1890-1954) が1916年に発表した論文 "A Circle Theorem" の中で示された”Johnson の定理”という定理があります．この定理の内容は，

「3つの等しい円がある一点 {\displaystyle \rm H } で交わるとき，3つの円から選んだ2つの円の {\displaystyle \rm H } 以外の交点をそれぞれ {\displaystyle \rm A,B,C } とする．このとき，3点 {\displaystyle \rm A,B,C } は3つの円と等しい円の円周上にある．」

というものです．図で表すと下のようになります．

 

f:id:todayf0rmu1a:20180429162448p:plain

 

定理の内容自体は簡潔ですが，言われてみないと気づかない感じがします． ここでは，三角形の外接円の半径に着目した証明をします．

 

証明：まず，3つの円の中心をそれぞれ {\displaystyle \rm O_1,O_2,O_3 } とします．そして， {\displaystyle \rm O_1 } を中心とする円の円周上に点 {\displaystyle \rm P } ， {\displaystyle \rm O_2 } を中心とする円の円周上に点 {\displaystyle \rm Q } ， {\displaystyle \rm O_3 } を中心とする円の円周上に点 {\displaystyle \rm R } をそれぞれとります．そして， {\displaystyle \rm \angle APC } を {\displaystyle \theta_1 } ， {\displaystyle \rm \angle CQB } を {\displaystyle \theta_2 } ， {\displaystyle \rm \angle BRA } を {\displaystyle \theta_3 } とします．

 

f:id:todayf0rmu1a:20180429165649p:plain

 

ここで，3つの円の半径の長さをいずれも {\displaystyle r } とします．三角形 {\displaystyle \rm AO_1C } に余弦定理を用いると，

{\displaystyle \rm AC^2 } {\displaystyle = r^2 + r^2 -2r \cdot r \cos \angle \rm AO_1C } {\displaystyle = 2r^2(1- \cos \angle \rm AO_1C) }

ここで，円周角の定理より，

{\displaystyle \rm \angle AO_1C } {\displaystyle = 2 \theta _1 }

であるから，

{\displaystyle \rm AC^2 } {\displaystyle = 2r^2(1- \cos 2 \theta_1) }

また，上の式は2倍角の公式を用いると，次のように表せます．

{\displaystyle \rm AC^2 } {\displaystyle = 2r^2\{1-(1- 2 \sin ^2 \theta_1)\} = 4r^2 \sin ^2 \theta_1 \ \ \cdots \cdots (1)}

同様に，三角形 {\displaystyle \rm CO_2B } ，三角形 {\displaystyle \rm BO_3A } にも余弦定理を用いると，

{\displaystyle \rm CB^2 } {\displaystyle =4r^2 \sin ^2 \theta_2 \ \ \cdots \cdots (2)}

{\displaystyle \rm BA^2 } {\displaystyle =4r^2 \sin ^2 \theta_3 \ \ \cdots \cdots (3)}

 

ここで，三角形の3辺の長さから外接円の半径を求める公式（証明はこちら，記事の最後に出てくる式です．三角形の3辺の長さから外接円の半径を求める公式 - 頭の整理）を三角形 {\displaystyle \rm ABC } に用いると， {\displaystyle (1),(2),(3) } から，

{\displaystyle R=\frac{\sqrt{4r^2 \sin ^2 \theta_1}}{2 \sqrt{1-\left(\frac{4r^2 \sin ^2 \theta_2 + 4r^2 \sin ^2 \theta_3 - 4r^2 \sin ^2 \theta_1}{2\sqrt{4r^2 \sin ^2 \theta_2} \sqrt{4r^2 \sin ^2 \theta_3}}\right)^2}} }

    {\displaystyle = \frac{r \sin \theta_1}{\sqrt{1-\left(\frac{\sin ^2 \theta_2 \sin ^2 \theta_3 - \sin ^2 \theta_1}{2 \sin \theta_2 \sin \theta_3}\right)^2}} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots \cdots (4)}

ここで，分母の丸括弧の中身は，次式が成り立つとき， {\displaystyle \cos \theta_1 } に等しくなります．（証明はこちら，記事の最後から3番目の式です．三角形の内角のみを用いた余弦定理の表示 - 頭の整理）

{\displaystyle \theta_1 + \theta_2 + \theta_3 = \pi \ \ \cdots \cdots (5)}

 

{\displaystyle \rm O_1 } を中心とする円に内接する四角形 {\displaystyle \rm PAHC } に着目すると，円に内接する四角形の内角は，それに向かい合う角の外角に等しいから，

{\displaystyle \rm \angle AHC } {\displaystyle =\pi - \theta_1 }

同様に，四角形 {\displaystyle \rm QCHB } ，四角形 {\displaystyle \rm RBHA } にそれぞれ着目すると，

{\displaystyle \rm \angle CHB } {\displaystyle =\pi - \theta_2 }

{\displaystyle \rm \angle BHA } {\displaystyle =\pi - \theta_3 }

また，明らかに，

{\displaystyle \rm \angle AHC + \angle CHB + \angle BHA } {\displaystyle = 2\pi }

であるから，

{\displaystyle (\pi - \theta_1)+(\pi - \theta_2)+(\pi - \theta_3) = 2\pi }

{\displaystyle \theta_1 + \theta_2 + \theta_3 =\pi }

になり， {\displaystyle (5) } は成り立ちます．

 

よって， {\displaystyle (4) } は，

{\displaystyle R=\frac{r \sin \theta_1}{\sqrt{1- \cos ^2 \theta_1}} = \frac{r \sin \theta_1}{\sin \theta_1} = r \ \ \cdots \cdots (6)}

になります． {\displaystyle (6) } は三角形 {\displaystyle \rm ABC } の外接円の半径，すなわち3点 {\displaystyle \rm ABC } を通る円が3つの円と等しいことを示しており，これはJohnson の定理が成り立つことを意味しています．

 

 


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