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下図のような三角形の外接円の半径 $R$ は，正弦定理より次式で求められます．

$R=\frac{a}{2\sin \theta_1} \ \ \cdots \cdots (1)$

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ここで，

$\sin \theta_1 = \sqrt {1 - \cos ^2 \theta_1} \ \ \cdots \cdots (2)$

です．また，余弦定理より，

$\cos \theta_1 = \frac{b^2 + c^2 -a^2}{2bc} \ \ \cdots \cdots (3)$

よって， $(2),(3)$ を $(1)$ に代入すると，

$R=\frac{a}{2 \sqrt{1-\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)^2}}$

になり，三角形の3辺の長さから外接円の半径を求める公式を導出することができました．