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直角三角形に潜む無限等比級数

平面図形 数列 級数

まず，下の図のような斜辺の長さが1の直角三角形を考えます．

f:id:todayf0rmu1a:20180415201820p:plain

この直角三角形に，次の図のように補助線を引いていきます．そして，斜辺が分割されることで現れる線分を順に { \displaystyle P_1,P_2, \ldots }，底辺が分割されることで現れる線分を順に { \displaystyle Q_1,Q_2, \ldots }，底辺に垂直な線分を順に { \displaystyle R_1,R_2, \ldots }，斜辺に垂直な線分を順に { \displaystyle S_1,S_2, \ldots }とそれぞれおきます．f:id:todayf0rmu1a:20180415202134p:plain

ここで， { \displaystyle P_k,Q_k,R_k,S_k }（ただし， { \displaystyle k } は自然数）の長さを求めます．そのために，下の図のように一番大きな直角三角形と相似な直角三角形を次々と考えます．

f:id:todayf0rmu1a:20180415205307p:plain

まず， { \displaystyle P_1,S_1 } の長さを求めます．斜辺の長さが { \displaystyle R_1 } の直角三角形に着目すると，

{ \displaystyle P_1=R_1 \sin \theta = \sin ^2 \theta }

{ \displaystyle S_1=R_1 \cos \theta = \sin \theta \cos \theta }

になります．

次に， { \displaystyle Q_1,R_2 } の長さを求めます．斜辺の長さが { \displaystyle S_1 } の直角三角形に着目すると，

{ \displaystyle Q_1=S_1 \sin \theta = \sin ^2 \theta \cos \theta }

{ \displaystyle R_2=S_1 \cos \theta = \sin \theta \cos ^2 \theta }

になります．以下同様に，着目する直角三角形を変えて各線分の長さを求めていくと， { \displaystyle P_k,Q_k,R_k,S_k } はそれぞれ次のように表せます．

{ \displaystyle P_k= \sin ^2 \theta \cos ^{2k-2} \theta }

{ \displaystyle Q_k= \sin ^2 \theta \cos ^{2k-1} \theta }

{ \displaystyle R_k= \sin \theta \cos ^{2k-2} \theta }

{ \displaystyle S_k= \sin \theta \cos ^{2k-1} \theta }

そして，各線分の長さを無限数列とみて，まず無限数列 { \displaystyle \{P_k\} }について無限級数を考えると，

{ \displaystyle \sum ^\infty_{k=1} P_k = \sin ^2 \theta + \sin ^2 \theta \cos ^2 \theta + \sin ^2 \theta \cos ^4 \theta + \cdots }

ここで，上式の右辺は初項 { \displaystyle \sin ^2 \theta }，公比 { \displaystyle \cos ^2 \theta } の無限等比級数であり， { \displaystyle 0 \ ＜\  \theta \ ＜\  \frac{\pi} {2} } より { \displaystyle \cos ^2 \theta \ ＜\  1 } であるから，無限等比級数の和の公式より，

{ \displaystyle \sum ^\infty_{k=1} P_k = \frac{\sin ^2 \theta} {1-\cos ^2 \theta} = \frac{\sin ^2 \theta} {\sin ^2 \theta} = 1 }

となり，一番大きな直角三角形の斜辺の長さを1と置いたこととも一致します．

また，無限数列 { \displaystyle \{Q_k\},\{R_k\},\{S_k\} } それぞれについて無限級数を考えると，

{ \displaystyle \sum ^\infty_{k=1} Q_k = \sin ^2 \theta \cos \theta + \sin ^2 \theta \cos ^3 \theta + \sin ^2 \theta \cos ^5 \theta + \cdots }

            { \displaystyle = (\sin ^2 \theta + \sin ^2 \theta \cos ^2 \theta + \sin ^2 \theta \cos ^4 \theta + \cdots ) \cdot \cos \theta }

            { \displaystyle = \sum ^\infty_{k=1} P_k \cdot \cos \theta }

            { \displaystyle = \cos \theta }

{ \displaystyle \sum ^\infty_{k=1} R_k = \sin \theta + \sin \theta \cos ^2 \theta + \sin \theta \cos ^4 \theta + \cdots }

            { \displaystyle = \frac{\sin \theta } {1-\cos ^2 \theta } }

            { \displaystyle = \frac{\sin \theta} {\sin ^2 \theta} }

            { \displaystyle = \frac{1} {\sin \theta} }

{ \displaystyle \sum ^\infty_{k=1} S_k = \sin \theta \cos \theta + \sin \theta \cos ^3 \theta + \sin \theta \cos ^5 \theta + \cdots }

            { \displaystyle =(\sin \theta + \sin \theta \cos ^2 \theta + \sin \theta \cos ^4 \theta + \cdots ) \cdot \cos \theta }

           { \displaystyle = \sum ^\infty_{k=1} R_k \cdot \cos \theta }

           { \displaystyle = \frac{\cos \theta} {\sin \theta} }

           { \displaystyle = \frac{1} {\tan \theta} }

となります．

 

 

 

 



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