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仕事が運動エネルギーの変化に等しいことを示すときに，力 $F$ を距離で積分することがあります．

例えば，下の図のように高さ $h_1$ にある質量 $m$ の小球を自由落下させ，小球が高さ $h_2$ に到達するまでの過程を考えます．なお， $v_1,v_2$ はそれぞれ高さ $h_1,h_2$ における小球の速度とします．

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まず，小球になされた仕事について考えます．仕事は（力）×（距離）なので，小球になされた仕事は次に示す積分で表すことができます．

$\int^{h_2}_{h_1} F dx$

次に，運動エネルギーの変化ですが，これは先ほど示した積分を次のように書き換えることで表せます．なお，ニュートンの運動方程式，

$F=m\frac{dv} {dt}$

は成り立つと仮定します．

$\int^{h_2}_{h_1} F dx = \int^{h_2}_{h_1} m \frac{dv} {dt} dx$

$=\int^{h_2}_{h_1} m \frac{dx} {dt} dv$

$=\int^{v_2}_{v_1} mv dv$

$=\frac{1} {2} mv_2^2- \frac{1} {2} mv_1^2$

このように，仕事と運動エネルギーの変化が等しいことは，積分計算により示すことができます．