https://put3y19ea1n0r9er.hatenablog.com/entry/2018/03/22/005835

この公式の導出はよく忘れるので，ここでまとめておきます．

-底の変換公式-

$a$ ， $b$ ， $c$ が正の数で， $a \neq 1$ ， $c\neq1$ のとき，

$\log_a b = \frac{\log_c b} {\log_c a}$

証明： $\log_a b = x$ とおくと， $a^x = b$

$c$ を底とする両辺の対数をとると，

$\log_c a^x = \log_c b$ すなわち， $x\log_c a = \log_c b$

$a\neq1$ だから， $\log_c a \neq0$ であるため， $x=\frac{\log_c b} {\log_c a}$

$\therefore \log_a b = \frac{\log_c b} {\log_c a}$

補足： $a \neq 1$ の条件は，分母が0とならないために必要です． $c\neq1$ は対数の定義に含まれる条件です．