自分用の勉強記録です．正則性や収束半径などはそれが成り立つ適切な範囲で考えてると思ってください．
ラグランジュの反転公式の主張
形式的冪級数 $f, g$ が $f(g(x)) = x$ を満たすとき，任意の $n \in \mathbb{Z}$ に対して $$n[x^{n}]g(x)=[x^{-1}]f(x)^{-n}$$
証明
よく見る証明は微分して頑張るやつですが，本記事では複素関数の計算による証明を与えます．以降，$ i $ を虚数単位とします．
$ C $ を単純閉曲線とし，Cauchy の積分公式，
$$g(z) = \dfrac{1}{2 \pi i} \int _{C}\dfrac{g(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta$$
において，$u = g(\zeta)$ と変数変換をすれば $f(g(\zeta))=f(u)$ より $\zeta = f(u)$，$d\zeta = f^{\prime}(u)du$ なので
$$g(z) = \dfrac{1}{2\pi i} \int_{g(C)} \dfrac{u}{f(u)-z} f^{\prime}(u)du$$
です．ここで，被積分関数について，
$$\begin{align} \dfrac{ uf^{\prime}(u) }{f(u)-z} & = \dfrac{uf^{\prime}(u}{f(u)} \cdot \dfrac{1}{1-\frac{z}{f(u)}} \\ & = \dfrac{uf^{\prime}(u)}{f(u)} \displaystyle\sum_{m \geq 0} \left( \dfrac{z}{f(u)} \right)^{m} \end{align}$$
と式変形すれば項別積分により，
$$g(z) = \dfrac{1}{2\pi i}\displaystyle\sum_{m \geq 0} z^{m} \int_{g(C)}\dfrac{uf^{\prime}(u)}{f(u)^{m+1}}du$$
を得ます．今知りたいのは $n[x^{n}]g(x)$ であったから，
$$n[z^{n}]g(z)=\dfrac{1}{2\pi i} \int_{g(C)}\dfrac{nuf^{\prime}(u)}{f(u)^{n+1}}du=[z^{-1}]f(z)^{-n}$$
が分かればよいです．これは，天下り的ですが
$$\left(\dfrac{u}{f(u)}\right)^{\prime}=\dfrac{1}{f(u)^{n}}-\frac{nuf^{\prime}}{f(u)^{n+1}}$$
を用いて
$$\dfrac{1}{2\pi i} \int_{g(C)}\dfrac{nuf^{\prime}(u)}{f(u)^{n+1}}du = \dfrac{1}{2\pi i} \int_{g(C)} \left( \dfrac{1}{f(u)^{n}} - \left(\dfrac{u}{f(u)}\right)^{\prime} \right) du = \dfrac{1}{2\pi i} \int_{g(C)} \dfrac{1}{f(u)^{n}} du$$
と変形すれば留数定理により $\text{R.H.S}=[z^{-1}]f(z)^{-n}$ を得ます．
