https://mochi-mochi61.hatenablog.com/entry/2022/04/30/015015

前回:置換のゼータ関数のオイラー積表示 - 数学大好き宣言！
前回示したことは全く使わない。

①置換のゼータ関数(再掲)
$\begin{align*} &X\mbox{を有限集合,}~~~f:X\rightarrow X\mbox{を全単射とする.} \\&\mbox{整数}n\mbox{に対して} \\&f^n= \left\{ \begin{array}{ll} f\circ\cdots\circ f~~~\mbox{(n回合成)} & (n> 0) \\ {\rm id}~~~\mbox{(恒等写像)} & (n=0) \\ f^{-1}\circ\cdots\circ f^{-1}~~~\mbox{(-n回合成)} & (n<0) \end{array} \right. \\ &\mbox{とする.} \\&{\rm Fix}(f^n)=\{x\in X ~|~ f^n(x)=x\}\mbox{とし,} \\&\zeta_f(u)=\exp\left(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\#{\rm Fix}(f^n)}{n}u^n \right)\mbox{とする.} \\&\mbox{ただし}\#S\mbox{で集合}S\mbox{の要素の数を表す.} \end{align*}$

②行列式表示の証明
$\begin{align*} \\&X=\{1,\cdots,N\},~~~f:X\rightarrow X \mbox{ とし,} \\&N\mbox{次正方行列}A_f\mbox{を}A_f=({\bf e}_{f(1)},\cdots,{\bf e}_{f(N)})~~~\mbox{で定める.} \\&\mbox{ただし}{\bf e}_1=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix},\cdots,{\bf e}_N=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}. \\&\mbox{このとき }f_1,f_2:X\rightarrow X~~~\mbox{に対して}A_{f_1} A_{f_2}=A_{f_1\circ f_2} \\&\mbox{が成り立つから, }A_{f^m}={A_f}^m. \\&\mbox{また}A_{f_1}=\{a_{i,j}\}_{i,j}~~\mbox{とすると,} \\&a_{i,i}= 1 ~~~ (f_1(i)=i),~~~a_{i,i}= 0 ~~~ (f_1(i)\neq i) \\&\mbox{だから,} \\&{\rm tr}A_{f^m}=\#{\rm Fix}f^m. \\&\mbox{よって}A\mbox{の固有値を}\lambda_1,\cdots,\lambda_N\mbox{とすると} \\&\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\#{\rm Fix}(f^n)}{n}u^n=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{\rm tr}({A_f}^n)}{n}u^n \\&=\sum_{i=1}^N\sum_{n=1}^{\infty}\frac{{\lambda_i}^n u^n}{n}=\sum_{i=1}^N (-\ln(1-\lambda_i u)) \\&\mbox{よって} \\&\zeta_f(u)=\exp \left( \sum_{i=1}^N (-\ln(1-\lambda_i u)) \right) \\&=\frac{1}{\prod_{i=1}^N (1-\lambda_i u)}=\frac{1}{{\rm det}(I-uA_f)} \end{align*}$