https://mochi-mochi61.hatenablog.com/entry/2022/04/29/042405

①置換のゼータ関数の定義
$\begin{align*} &X\mbox{を有限集合,}~~~f:X\rightarrow X\mbox{を全単射とする.} \\&\mbox{整数}n\mbox{に対して} \\&f^n= \left\{ \begin{array}{ll} f\circ\cdots\circ f~~~\mbox{(n回合成)} & (n> 0) \\ {\rm id}~~~\mbox{(恒等写像)} & (n=0) \\ f^{-1}\circ\cdots\circ f^{-1}~~~\mbox{(-n回合成)} & (n<0) \end{array} \right. \\ &\mbox{とする.} \\&{\rm Fix}(f^n)=\{x\in X ~|~ f^n(x)=x\}\mbox{とし,} \\&\zeta_f(u)=\exp\left(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\#{\rm Fix}(f^n)}{n}u^n \right)\mbox{とする.} \\&\mbox{ただし}\#S\mbox{で集合}S\mbox{の要素の数を表す.} \end{align*}$
②オイラー積
$\begin{align*} \\&\Omega\subset X~\mbox{が, ある}~x\in X~\mbox{によって} \\&\Omega=\{f^i(x)|i\in \mathbb Z\}~~\mbox{と表せるとき,} \\&\Omega=\Omega(x)\mbox{は軌道であるという.} \\&\mbox{このとき次が成り立つ.} \\&\mbox{【命題1】(オイラー積表示)} \\&\zeta_f(u)=\prod_{\Omega:\mbox{軌道}}\frac{1}{1-u^{\#\Omega}}. \end{align*}$

③証明の準備
$\begin{align*} &\mbox{証明の準備をする.} \\&\mbox{写像}\{0,1,\cdots,\#X\}\rightarrow X,~~~i\mapsto f^i(x) \\&\mbox{を考えると, 鳩ノ巣原理より,} \\&\mbox{ある }i,j\in \{0,1,\cdots,\#X\},i\lt j\mbox{ が存在して }f^i(x)=f^j(x). \\&\mbox{このとき}j-i\gt0,~f^{j-i}(x)=x~~~\mbox{だから,} \\&\mbox{任意の }x\in X\mbox{ に対して }f^m(x)=x \mbox{ となる }m\in{\mathbb Z}_{>0}\mbox{がある.} \\&\mbox{そのような最小のものを}p(x)\mbox{と表す.} \\&\mbox{【補題1】} \\&({\rm i})~f^m(x)=x\Leftrightarrow p(x)|m. \\&({\rm ii})\#\Omega(x)=p(x). \\&\mbox{証明} \\&({\rm i})f^m(x)=x\mbox{のとき,}m\mbox{を}p(x)\mbox{で割った余りを}r\mbox{とすると,} \\&x=f^m(x)=f^{bp(x)+r}(x)=f^r(x).~~~(b\in \mathbb Z) \\&p(x)\mbox{の最小性より}r=0\mbox{だから,}~~p(x)|m. \\&\mbox{逆に}p(x)|m\mbox{のとき, }f^m(x)=f^{bp(x)}(x)=x\mbox{だから,} \\&f^m(x)=x\Leftrightarrow p(x)|m. \\&({\rm ii})\Omega(x)=\{x,f(x),\cdots,f^{p(x)-1}(x)\}\mbox{であり,} \\&0\leq i\lt j\leq p(x)-1~~\mbox{のとき, }0\lt j-i \leq p(x)-1 \mbox{ だから,} \\&p(x)\mbox{の最小性より}f^{j-i}(x)\neq x.~~\mbox{よって}f^i(x)\neq f^j(x). \\&\mbox{よって }x,f(x),\cdots,f^{p(x)-1}(x) \mbox{ は相異なるから } \\&\#\Omega(x)=\#\{x,f(x),\cdots,f^{p(x)-1}(x)\}=p(x). \\&\mbox{【補題2】}{\rm Fix}(f^n)=\bigsqcup_{\substack{\Omega:\mbox{軌道}\\\#\Omega|n}}\Omega \\&\mbox{ただし}\bigsqcup\mbox{は集合の非交和を表す.} \\&\mbox{証明:} \\&\mbox{左辺⊂右辺: } x\in{\rm Fix}(f^n)\mbox{とすると,}f^n(x)=x. \\&\mbox{よって補題1(i)より}p(x)|n. \\&\mbox{よって補題1(ii)より }x\in\Omega(x),\#\Omega(x)=p(x)|n \mbox{ だから}x\in\mbox{(右辺).} \\&\mbox{右辺⊂左辺: } x\in\bigsqcup_{\substack{\Omega:\mbox{軌道}\\\#\Omega|n}}\Omega \\&\mbox{とすると, ある}y\in X\mbox{があって} \\&x\in\Omega(y)=\{f^i(y)~|~i\in {\mathbb Z}\},~~~\#\Omega(y)|n. \\&\mbox{よってある}k\in{\mathbb Z}\mbox{があって}x=f^k(y), \\&\mbox{補題1(ii)より }p(y)|n. \\&\mbox{よって補題1(i)より }f^n(y)=y\mbox{ だから }f^n(x)=f^{n+k}(y)=f^k(y)=x. \\&\mbox{よって}x\in{\rm Fix}(f^n). \\&\mbox{最後に右辺が互いに素な和集合であることを示す.} \\&\Omega_1,\Omega_2 \mbox{ が軌道で, }\Omega_1\cap\Omega_2\neq\varnothing\mbox{ だとすると,} \\&\mbox{ある}x,x_1,x_2\in X,~~k_1,k_2\in{\mathbb Z}\mbox{があって } \\&x=f^{k_1}(x_1)=f^{k_2}(x_2). \\&\mbox{よって任意の}f^{n_1}(x_1)\in\Omega_1,~~f^{n_2}(x_2)\in\Omega_2~~\mbox{で} \\&f^{n_1}(x_1)=f^{n_1+k_2-k_1}(x_2)\in\Omega_2, \\&f^{n_2}(x_2)=f^{n_1+k_1-k_2}(x_1)\in\Omega_1. \\&\mbox{よって}\Omega_1=\Omega_2.~~ \\&\mbox{対偶をとり}\Omega_1\neq\Omega_2\Rightarrow \Omega_1\cap\Omega_2=\varnothing. \\&\mbox{よって軌道同士は互いに素.}\mbox{(終)} \end{align*}$

④命題の証明
$\begin{align*} &\mbox{命題1の証明:} \\&\mbox{補題2より}\#{\rm Fix}(f^n)=\sum_{\substack{\Omega:\mbox{軌道}\\\#\Omega|n}}\#\Omega =\sum_{d|n}d \sum_{\substack{\Omega:\mbox{軌道}\\\#\Omega=d}}1 \\&\mbox{よって} \\&\sum_{m=1}^{\infty} \frac{\#{\rm Fix}(f^m)}{m}u^m \\&=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{u^m}{m}\sum_{d|m}d \sum_{\substack{\Omega:\mbox{軌道}\\\#\Omega=d}}1 \\&=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{d=1}^{\infty}\sum_{\substack{\Omega:\mbox{軌道}\\\#\Omega=d}}\frac{u^{dn}}{dn}d \\&=\sum_{\Omega:\mbox{軌道}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{u^{\#\Omega n}}{n} \\&=\sum_{\Omega:\mbox{軌道}}(-\ln(1-u^{\#\Omega})) \\&=\ln\prod_{\Omega:\mbox{軌道}}\left( \frac{1}{1-u^{\#\Omega}} \right) \\&\mbox{よって} \\&\zeta_f(u)=\exp\left(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\#{\rm Fix}(f^n)}{n}u^n \right)=\prod_{\Omega:\mbox{軌道}}\left( \frac{1}{1-u^{\#\Omega}} \right) \end{align*}$