https://mochi-mochi61.hatenablog.com/entry/2022/02/16/212326

定理：
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証明：
非負整数 $r$ に対して
$f_r(t)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n^r t^n$ とすると、
$f_0(t)=\dfrac{1}{1-t}$ ,
$f_{r+1}(t) = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}n^r \cdot nt^{n-1} \cdot t = t{f_r}'(t)$
だから、帰納的に
$f_r(t)=\dfrac{F_r(t)}{(1-t)^{r+1}} ~ (F_r(t)\in {\mathbb Z}[t])$
が分かる。
$r\leq r', ~ r\equiv r' \mod p-1$ のとき、フェルマーの小定理より
$\forall n \in {\mathbb N} ~~ n^{r}\equiv n^{r'} \mod p$ だから、
$f_r(t) - f_{r'}(t) = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (n^r -n^{r'})t^n =p \sum_{n=1}^{\infty} c_n t^n ~~ (c_n \in {\mathbb Z})$
よって冪級数の積より $\dfrac{(1-t)^{r'+1}(f_r(t)-f_{r'}(t))}{p}$ は整係数冪級数。
一方 $\dfrac{ (1-t)^{r'+1}(f_r(t)-f_{r'}(t))}{p}=\dfrac{(1-t)^{r'-r}F_r(t)-F_{r'}(t)}{p}$ は多項式でもある。
よって $\dfrac{ (1-t)^{r'+1}(f_r(t)-f_{r'}(t))}{p}$ は整係数多項式だから、
その $p$ 倍である $(1-t)^{r'+1}(f_r(t)-f_{r'}(t))$ は各係数がpの倍数である整係数多項式。
よって $2^{r'-r}(f_r(-1) - f_{r'}(-1)) \equiv 0 \mod p$ だから、 $p\neq 2$ のとき $f_r(-1)\equiv f_{r'}(-1) \mod p$ .
$f_r(-1)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n n^r =-\zeta(-r)+2^{r+1}\zeta(-r) =(2^{r+1}-1)\zeta(-r)$ だから、
$(2^{r+1}-1){\zeta(-r)} \equiv (2^{r'+1}-1){\zeta(-r')} \mod p$ .

フェルマーの小定理をオイラーの定理に変更することで、
$n$ :奇数, $r\equiv r' \mod\phi(n)$ のときに一般化できる。

また、今回は-1における特殊値を用いたが、例えば1の原始三乗根ωを用いると
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}n^r + \sum_{n=1}^{\infty}n^r \omega^n + \sum_{n=1}^{\infty}n^r \omega^{2n} =3\sum_{n=1}^{\infty}(3n)^r$
となるから
$\zeta(-r)=\dfrac{f_r(\omega)+f_r(\omega^2)}{3^{r+1} - 1}$
となって、追加因子が $3^{r+1}-1$ になる。n:奇数の条件も変化するだろう。