https://mochi-mochi61.hatenablog.com/entry/2022/02/15/015631

${\mathbb Q}(\sqrt[3]{2},\omega) / {\mathbb Q}$ の自己同型群を求めよう。
(1)
${\mathbb Q}(\omega) = {\mathbb Q}(\omega , \omega^2)$ より、
${\mathbb Q}(\omega)/{\mathbb Q}$ は $x^2+x+1$ の根を添加する拡大だから、正規拡大。よってガロア拡大。
また、 ${\mathbb Q}(\omega) = {\mathbb Q}[x]/(x^2+x+1)$ だから拡大次数は2.
${\mathbb Q}(\sqrt[3]{2}, \omega)={\mathbb Q}(\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2}\omega, \sqrt[3]{2}\omega^2)$ より、
${\mathbb Q}(\sqrt[3]{2},\omega) / {\mathbb Q}(\omega)$ は $x^3-2$ の根を添加する拡大だから、正規拡大。よってガロア拡大。
また、 ${\mathbb Q}(\sqrt[3]{2}, \omega)={\mathbb Q}(\omega)[x]/(x^3-2)$ だから拡大次数は3.
以上より ${\mathbb Q}(\sqrt[3]{2},\omega) / {\mathbb Q}$ はガロア拡大で、拡大次数は6.
(2)
${\mathbb Q}(\sqrt[3]{2},\omega)/{\mathbb Q}(\sqrt[3]{2})$ の自己同型写像は、 ${\mathbb Q}(\sqrt[3]{2})$ の元を動かさないことより $\mathbb Q$ の元も動かさないから、
${\mathbb Q}(\sqrt[3]{2},\omega) / {\mathbb Q}$ の自己同型写像でもある。
一方、 ${\mathbb Q}(\sqrt[3]{2},\omega)/{\mathbb Q}(\sqrt[3]{2})$ の自己同型は $\omega$ の行き先で決まるから簡単に求められ、 ${\mathbb Q}(\sqrt[3]{2})$ 上の $\omega$ の最小多項式が $(x-\omega)(x-\omega^2)$ だから、 ${\rm id}$ と $\sigma$ (ただし $\sigma(\omega)=\omega^2$ で定まる自己同型写像) の2つである。
全く同様に、 ${\mathbb Q}(\sqrt[3]{2},\omega)/{\mathbb Q}(\omega)$ の自己同型写像は、
${\mathbb Q}(\sqrt[3]{2},\omega) / {\mathbb Q}$ の自己同型写像でもあり、それは ${\rm id},\tau,\tau^2$ (ただし $\tau$ は $\tau(\sqrt[3]{2})=\sqrt[3]{2}\omega$ で定まる)。
以上より ${\rm id},\sigma,\tau,\sigma\tau,\tau^2,\sigma\tau^2$ はすべて ${\mathbb Q}(\sqrt[3]{2},\omega) / {\mathbb Q}$ の自己同型で、すべて相異なることが確認できる。拡大次数が6だったからこれが全ての自己同型である。