を群とする。同型写像
の全体を
と書くと、これは写像の合成に関して群をなす。
証明：
写像の合成だから結合律を満たす。
単位元は、恒等写像である。
の逆元は
だが、
であることを示す。準同型であることを示せばよい。
だから、両辺の
をとって
. よって準同型。
以上より、群である。
定義(半直積)
G,Hを群とする。 をある準同型とする。
を、
とも書くとする。準同型だから
である。
半直積 とは、
直積集合 に次の演算を入れた群である：
これが群であることを確認していこう。
まず結合律。
よって結合律は成り立つ。
次に単位元の存在。で単位元を表すと、
であり、
は準同型だから、
は単位元、つまり恒等写像。よって
.
また、
よっては単位元である。
最後に逆元の存在。群論の一般論から、右逆元の存在さえ示せばいい。が右逆元になることを示す。
. よって示された。
今日はひとまずここまで。
