https://mochi-mochi61.hatenablog.com/entry/2022/01/12/015226

示したいこと：a>1が自然数のとき、
$\displaystyle a\int _{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt[a]{1-x^a}}=\dfrac{\pi}{\sin (\pi/a)}$
高次元の曲線の積分が、πの円分数倍になるのが不思議。

＜証明＞
ベータ関数とは
$\mathrm {\mathrm {B} } (a,b)=\int _{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt\!$
で定義される関数である。
$\displaystyle{\mathrm B}(\frac{1}{a},1-\frac{1}{a})$ を求める。
$t=x^a$ と置換積分する。 $t:0～1$ のとき $x:0～1$ で、 $\frac{dt}{dx} = ax^{a-1}$ だから、
$\mathrm {\mathrm {B} } (\frac{1}{a},1-\frac{1}{a})=a\int _{0}^{1}(x^a)^{1/a-1}(1-x^a)^{-1/a} x^{a-1}\,dx\!$
$\displaystyle =a\int _{0}^{1}x^{1-a+a-1}(1-x^a)^{-1/a} \,dx\!$
$\displaystyle =a\int _{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt[a]{1-x^a}}$

一方、
$\displaystyle {\mathrm B}(\frac{1}{a},1-\frac{1}{a})=\dfrac{\Gamma(\frac{1}{a})\Gamma(1-\frac{1}{a})}{\Gamma(1)}=\Gamma(\frac{1}{a})\Gamma(1-\frac{1}{a})$
だから、ガンマ関数の相反公式より、 ${\mathrm B}(\frac{1}{a},1-\frac{1}{a})=\dfrac{\pi}{\sin (\pi/a)}$
よって、
$\displaystyle a\int _{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt[a]{1-x^a}}=\dfrac{\pi}{\sin (\pi/a)}$
結局、
$\displaystyle \int _{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt[a]{1-x^a}}=\dfrac{\pi}{a \sin (\pi/a)}$
例えばa=6のとき
$\displaystyle \int _{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt[6]{1-x^6}}=\dfrac{\pi}{6 \sin (\pi/6)}=\frac{\pi}{3}$
左辺の高度な積分が、πの簡単な式に帰着されるのはなんだか不思議だ。
式だけ見ると高校数学にも出てきそうだが、高校数学レベルの証明(=ガンマ関数を経由しない証明)は存在するのだろうか？