https://mochi-mochi61.hatenablog.com/entry/2022/01/05/002627

ベータ関数とは
$\mathrm {\mathrm {B} } (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt\!$
で定義される関数。
この記事では、
ベータ関数の無限乗積表示：
$\displaystyle B(x,y)=\frac{x+y}{xy}\lim _{n \rightarrow \infty} \prod_{k=1}^n \frac{k(x+y+k)}{(x+k)(y+k)}$
を示す。

ベータ関数はガンマ関数と次のような関係がある：
$\mathrm {\mathrm {B} } (x,y)={\frac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}\!$
こちらのサイト様で証明が読める：ガンマ関数とベータ関数の関係式とその証明 | 数学の景色

さて、ガンマ関数には次の無限乗積表示がある(ガウス公式)：
$\Gamma(z)=\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{z} n ! \prod_{k=0}^{n} (z+k)^{-1}.$
（こちらのサイト様より→ガンマ関数の無限積表示 | 理系ノート)
$G_n(z)=\displaystyle n^{z} n ! \prod_{k=0}^{n} (z+k)^{-1}$
とおくと、
$\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} \dfrac {G_n(x) G_n(y)}{G_n(x+y)} \\ = \displaystyle \dfrac {\lim _{n \rightarrow \infty} G_n(x) \lim _{n \rightarrow \infty} G_n(y)}{ \lim _{n \rightarrow \infty} G_n(x+y)} \\ = {\dfrac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}\! = B(x,y)$
よって
$\displaystyle B(x,y)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{ n^x n^y (n!)^2}{n^{x+y} n!}\prod_{k=0}^n \frac{(x+y+k)}{(x+k)(y+k)}$
約分して、
$\displaystyle B(x,y)=\lim _{n \rightarrow \infty} n!\prod_{k=0}^n \frac{(x+y+k)}{(x+k)(y+k)}$
$n!=\prod_{k=1}^n k$ だから、
$\displaystyle B(x,y)=\frac{x+y}{xy}\lim _{n \rightarrow \infty} \prod_{k=1}^n \frac{k(x+y+k)}{(x+k)(y+k)}$