https://mochi-mochi61.hatenablog.com/entry/2021/12/13/073442

まずは次の定理を示す。
fを整係数多項式、pを素数、a,tを整数、kを自然数とすると、
$f\left(a+t p^{k}\right) \equiv f(a)+t f^{\prime}(a) p^{k}\mod p^{k+1}$
(証明)
多項式のテイラー展開より、ある整係数多項式g(x,y)が存在して、
$f(x+y)=f(x)+f^{\prime}(x) y+g(x, y) y^{2}$
あとはx=a, y=tpᵏ を代入すれば
$f\left(a+t p^{k}\right) = f(a)+t p^k f^{\prime}(a) + (tp^k)^2 g(a,tp^k)$
$\equiv f(a)+t f^{\prime}(a) p^{k}\mod p^{k+1}$

よって例えば
$f^{2}\left(a+t p^{k}\right)\equiv f\left(f(a)+t f^{\prime}(a) p^{k}\right)\equiv f^{2}(a)+t\left(f^{\prime}(a)\right)^{2} p^{k}$

繰り返し適用して、任意の自然数nに対して
$f^{n}\left(a+t p^{k}\right)\equiv f^{n}(a)+t\left(f^{\prime}(a)\right)^{n} p^{k}\mod p^{k+1}$

aが法pᵏで周期mの周期点、つまりfᵐ(a)≡a(mod pᵏ)で、なおかつf'(a)≢0(mod p) なら、フェルマーの小定理より(f'(a))ᵖ⁻¹=1+pb(bは整数) だから、
$f^{m(p-1)}\left(a+t p^{k}\right)\equiv f^{m(p-1)}(a)+t\left(f^{\prime}(a)\right)^{m(p-1)} p^{k}\equiv a+tp^{k}\mod p^{k+1}$
よってa+tpᵏは任意のtで周期m(p-1) の周期点である。