https://mochi-mochi61.hatenablog.com/entry/2021/01/31/045840

ω₁, ω₂を複素数、ｋ＝1,2,...として、 $\displaystyle\sum_{(m,n)\in{\mathbb Z}^2-\{(0,0)\}}(m\omega_1+n\omega_2)^{-2k}$ という級数を考える。
これはω₁, ω₂という二つの変数の関数ともとれるが、(周期的)格子 ${\mathbb Z}\omega_1 + {\mathbb Z}\omega_2$ に複素数値を返す関数ともとれる。だから格子を張る基底をとりかえて $\displaystyle\sum(m(\omega_1+\omega_2)+n\omega_2)^{-2k}$
のように書いても値は同じ。
この級数を $\omega_2^{-2k}$ でわり $\omega_1/\omega_2=\tau$ とおくと、アイゼンシュタイン級数
$G_{2k}(\tau)=\displaystyle\sum_{(m,n)\in{\mathbb Z}^2-\{(0,0)\}}(m\tau+n)^{-2k}$
となるが、これがモジュラー形式となるのはこの「元は格子の関数」という事実によることになる。
モジュラー形式からは格子の関数をつくることができる。
(レベル１の)モジュラー形式とは、 $a,b,c,d\in {\mathbb Z},ad-bc=1$ のとき
$\displaystyle f \left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = (cz+d)^{-k}f(z)$
となるようなRe(z)>0で正則な関数。
fから、格子Λの関数Fを作ろう。 $\Lambda$ のℤ基底として $\omega_1,~\omega_2$ がとれるとき(ただし $Re(\omega_1/\omega_2)\gt 0$ )、つまり $\Lambda={\mathbb Z}\omega_1 + {\mathbb Z}\omega_2$ と書けるとき
$F(\Lambda):=-\omega_2^{-k}f(\omega_1/\omega_2)$
と定めると、Ｆは格子上の関数になる。つまり、Ｆの値は基底のとり方によらない。
示す。 $\left(\begin{array}{ccc}a & b\\ c&d\end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc}\omega_1\\\omega_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\omega_1'\\ \omega_2'\end{array}\right)~(a,b,c,d\in {\mathbb Z},ad-bc=1)$ とする。
$F({\mathbb Z}\omega_1'+{\mathbb Z}\omega_2') = F({\mathbb Z}(a\omega_1 + b\omega_2)+{\mathbb Z}(c\omega_1+d\omega_2))\\=(c\omega_1+d\omega_2)^{-k}f(\frac{a\omega_1 +b\omega_2}{c\omega_1+d\omega_2})\\=(c\omega_1+d\omega_2)^{-k}( (c\omega_1+d\omega_2)^k f(\omega_1/\omega_2) )\\=f(\omega_1/\omega_2)=F({\mathbb Z}\omega_1+{\mathbb Z}\omega_2)$
だから、
$\Lambda={\mathbb Z}\omega_1+{\mathbb Z}\omega_2={\mathbb Z}\omega_1'+{\mathbb Z}\omega_2'\\\Leftrightarrow \left(\begin{array}{ccc}a & b\\ c&d\end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc}\omega_1\\\omega_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\omega_1'\\ \omega_2'\end{array}\right)~(a,b,c,d\in {\mathbb Z},ad-bc=1)$
よりＦの値は基底に依らない。
逆に格子の関数Ｆがもし $F(a\Lambda)=a^{-k}F(\Lambda)$ という斉次性をもつなら、上の等式 $F(\Lambda)=-\omega_2^{-k}f(\omega_1/\omega_2)$ でＦからモジュラー形式ｆをつくれる。