yukicoder No.377 背景パターン

問題

No.377 背景パターン - yukicoder

解法

まず蟻本の p269 に書いてある問題を解いてみましょう。これを解いてみれば, 後は似たような話です。

蟻本の問題では塗り方は一次元的ですが, 今回の問題では二次元的です。そこで, 「横に w, 縦に h だけずれる場合に, (0, 0) と同じ色に塗らなければならないセル」を考えます。

塗らなければならないセルは, (0, 0), (2w%", 2h%H), (3w%W, 3h%H), ... と続いていき, 最後に (0, 0) についたところで一周して終わりです。なので, 塗る数を t とすると, それは
t*h = 0 (mod H)
t*w = 0 (mod W)
を満たしているはずです。上記の条件より, t は H/gcd(h, H) の倍数であり, かつ W/gcd(w, W) の倍数であるので, 最小の t は当然 lcm(H/gcd(h, H), W/gcd(w, W)) です。
一つのセルにつき, 上記の数だけ同じ色に塗らなければならないので, 自由度は W*H/t です。よって, K^(W*H/t) 通りの塗り方があります。

よって, w と h を全探索すれば O(WH) で答えを求められるのですが, これでは到底間に合わないので, gcd(h, H) が同じものは一気にまとめて, また gcd(w, W) が同じものは一気にまとめて処理することを考えます。
gcd の値で場合分けすると, gcd の数は N の約数の数分しかないので間に合いそうです。gcd(H, h) = gcdh となる h の数は蟻本に書いてあるのと同様に オイラーのトーシェント関数で求められます。

ll mod_pow(ll x, ll p, ll MOD) {
    ll a = 1;
    while (p) {
        if (p%2) a = a*x%MOD;
        x = x*x%MOD;
        p/=2;
    }
    return a;
}

// mod_inverse
ll mod_inverse(ll a, ll m) {
    return mod_pow(a, m-2, m);
}

const int MOD = 1e9+7;

map<int, int> primeFactor(int n) {
    map<int, int> ret;
    for (int i = 2; i*i <= n; i++) {
        int cnt = 0;
        while (n%i == 0) {
            cnt++;
            n /= i;
        }
        if (cnt) ret.insert(pii(i, cnt));
    }
    if (n > 1) ret.insert(pii(n, 1));
    return ret;
}

vector<int> divisors(int n) {
    vector<int> ret;
    for (int i = 1; i*i <= n; i++) {
        if (n%i == 0) {
            ret.push_back(i);
            if (i*i < n) ret.push_back(n/i);
        }
    }
    sort(ret.begin(), ret.end());
    return ret;
}

int main() {
    cin.tie(0);
    ios::sync_with_stdio(false);
    ll H, W, K;
    cin >> H >> W >> K;
    vector<int> divH = divisors(H), divW = divisors(W);
    map<int, int> primeH = primeFactor(H), primeW = primeFactor(W);
    ll ans = 0;
    for (int gcdh : divH) for (int gcdw : divW) {
        ll k = mod_pow(K, W*H/gcdh/gcdw*__gcd(gcdh, gcdw), MOD);
        ll hnum = gcdh, wnum = gcdw;
        for (auto p : primeH) {
            if (hnum % p.first == 0) hnum -= hnum/p.first;
        }
        for (auto p : primeW) {
            if (wnum % p.first == 0) wnum -= wnum/p.first;
        }
        (ans += k*hnum%MOD*wnum%MOD) %= MOD;
    }
    (ans *= mod_inverse(W*H%MOD, MOD)) %= MOD;
    cout << ans << endl;
    return 0;
}