プロ関手 $`\mathcal{C}^{\mathrm{op}}\times \mathcal{D} \to \mathbf{Set}`$ の方向を「$`\mathcal{C}`$ から $`\mathcal{D}`$」とするか、はたまた「$`\mathcal{D}`$ から $`\mathcal{C}`$」とするかは好みの問題でその選択は恣意的です。僕は、「$`\mathcal{C}`$ から $`\mathcal{D}`$」を選んでいたのですが、具合悪いかも知れない。$`\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}}
%\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\mbf}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\In}{\text{ in }}
\newcommand{\op}{\mathrm{op}}
`$
プロ関手 $`P : \cat{C}^{\op}\times \cat{D} \to \mathbf{Set}`$ を左カリー化（第一引数に関するカリー化）すると：
$`\quad {^\cap P} : \cat{D} \to [\cat{C}^\op, \mbf{Set}] \In \mbf{CAT}`$
前層構成を、米田モナド（実は相対モナド）の台関手とみなすと、$`{^\cap P}`$ は米田モナドのクライスリ射。関係・非決定性写像と対比すると、プロ関手 $`P`$ が関係を定義する述語のようなもので、$`{^\cap P}`$ が関係と同値な非決定性写像のようなものです。
関係の方向と非決定性写像の方向は一致させるよね。その伝で言えば、プロ関手 $`P : \cat{C}^{\op}\times \cat{D} \to \mathbf{Set}`$ の方向は次が妥当です。
$`\quad \cat{D} \not\to \cat{C}`$ （スラッシュはプロ関手であることの目印）
反対余米田モナド（余前層と余米田埋め込みの相対モナド）を考えれば：
$`\quad P^\cap : \cat{C} \to [\cat{D}, \mbf{Set}]^\op \In \mbf{CAT}`$
これは「$`\mathcal{C}`$ から $`\mathcal{D}`$」になります。が、余前層／余米田埋め込み／反対余米田モナドをメインに使うことはほとんどありません。
前層／米田埋め込み／米田モナドとスムーズに連携するなら、プロ関手の方向は「$`\mathcal{D}`$ から $`\mathcal{C}`$」のほうが良いかも。しかし、今までうまくいっていた所で問題が出たりしそう。やんなっちゃうなー、もう。
