随伴系の十項目（ショートチートシート）

随伴系〈adjunction | adjoint system〉は左関手と右関手のペアとして、$`F \dashv U`$ のように書かれることが多いですが、これらは随伴系という構造の下っ端なヤツラです。注目すべきは、以下のモノとコトです。$`\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\twoto}{\Rightarrow }
\newcommand{\thrto}{\Rrightarrow }
`$

1. 転置 $`\Phi : \cat{D}(F, \mrm{Id})\twoto \cat{C}(\mrm{Id}, U)`$
2. 反転置 $`\Psi : \cat{C}(\mrm{Id}, U) \twoto \cat{D}(F, \mrm{Id})`$
3. 転置は自然であること。
4. 反転置は自然であること。
5. ベータ等式 $`\Phi;\Psi \thrto \mrm{ID}`$
6. エータ等式 $`\Psi; \Phi \thrto \mrm{ID}`$
7. 単位〈余評価〉 $`\eta :: \mrm{Id} \twoto F*U`$
8. 余単位〈評価〉 $`\varepsilon :: U*F \twoto \mrm{Id}`$
9. ニョロニョロ関係式 その1 $`(\eta*F);(F*\varepsilon) \thrto \mrm{ID}_F`$
10. ニョロニョロ関係式 その2 $`(U * \eta);(\varepsilon*U) \thrto \mrm{ID}_U`$

随伴系が出てきたら、必ずこの十項目を確認しましょう。