反射的球体集合

このブログ内で「反射的球体集合」を検索したらヒットしない。「えっ？」と思いました。てっきり書いたことあると思い込んでた。書いてないなら書きましょう、この記事で。

毎度の悩みの種である反対圏と反変関手に関するゴタゴタと、関手の域圏と余域圏の混同・混乱の問題に（ある程度は）対処した用語・記法により説明します。$`\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\mbf}[1]{\mathbf{#1}}
%\newcommand{\id}{\mathrm{id}}
\newcommand{\op}{\mathrm{op}}
\newcommand{\In}{\text{ in }}
%\newcommand{\u}[1]{\underline{#1}}
\newcommand{\o}[1]{\overline{#1}}
%\newcommand{\hyp}{ \text{－} }
%\newcommand{\Iff}{ \Leftrightarrow }
%\newcommand{\Imp}{ \Rightarrow }
%\newcommand{\twoto}{\Rightarrow }
`$

内容：

• 形状付き集合
• 球体圏と反対球体圏
• 球体集合
• 反射的球体圏と反射的球体集合

形状付き集合

リーディ圏（「圏論で使う「図式」と「形状」 // リーディ圏」参照）の次数関数〈degree function〉の余域は自然数の集合 $`\mbf{N}`$ に制限します（一般の順序数は考えない）。リーディ圏に関しては、次数〈degree〉と次元〈dimension〉は交換可能な同義語として使います。

リーディ圏 $`\cat{S}`$ からの前層（反変関手）を形状付き集合〈shaped set〉と呼びます。つまり、$`A`$ が形状付き集合であるとは次のことです。

$`\quad A : \cat{S}^\op \to \mbf{Set} \In \mbf{CAT}\\
\text{i.e.}\\
\quad A \in \mrm{Obj}([\cat{S}^\op, \mbf{Set}])
`$

形状付き集合（反変関手）の域である圏を（その形状付き集合の）形状圏〈shape category〉と呼びます。

• 「リーディ圏」は、圏の種別の名前
• 「形状圏」は形状付き集合という構造の構成素に付けられた役割りの名前
• 役割り名が「形状圏」である圏の種別は「リーディ圏」である。

形状圏（種別はリーディ圏）の0-射〈対象〉を0-ソート〈0-ソート〉、1-射〈射〉を1-ソート〈1-sort〉と呼ぶことにします。順行射（次数が上がる射）は順行1-ソート〈direct 1-sort〉、逆行射（次数が下がる射）は逆行1-ソート〈inverse 1-sort〉です。

「圏論で使う「図式」と「形状」 // リーディ圏」では、リーディ圏の1-射を「アロー」と呼んでましたが、「アロー」は「射」の同義語とする場合がほとんどなので、ここでは「1-ソート」を使いました。なんで、形状圏の対象・射に特別な呼び名が欲しいかというと、次の三者を混同しがちだからです。

1. 形状圏の対象・射
2. 形状圏の反対圏の対象・射
3. 形状付き集合の値となる、集合圏の対象・射〈集合・写像〉

形状付き集合が位相実現〈幾何実現〉（「位相的形状付き集合 再論」参照）を持つときは、位相実現関手の値となる、位相空間達の圏の対象・射〈位相空間・連続写像〉も現れ、事情がより複雑になります。

$`A`$ は形状付き集合だとして、0-ソート $`\alpha \in |\cat{S}|`$ に対応する集合 $`A(\alpha)`$ を$`\alpha`$-セルセット〈$`\alpha`$-cellset〉と呼びます。$`\alpha`$-セルセットの要素が$`\alpha`$-セル〈$`\alpha`$-cell〉です。$`\alpha`$ は0-ソートであって次元〈次数〉ではありません。たまたま、0-ソートと次元が一致する場合があるだけです。

形状付き集合において、順行1-ソートに対応する写像を面写像〈face map〉、逆行1-ソートに対応する写像を退化写像〈degeneracy map〉と呼びます。順行1-ソートと面写像は別物だし、逆行1-ソートと退化写像は別物です。が、しばしばこれらが意図的に混同されます。さらには、位相実現関手の値も面写像／退化写像と呼んで意図的混同をすることもあります。

球体圏と反対球体圏

球体圏〈globe category〉はリーディ圏の一例です。球体圏を $`\mbf{g}`$ と書きます。$`\mbf{g}`$ は個別特定の圏に付けられた固有名です。

球体圏の対象集合〈set of objects〉は $`\mbf{N}`$ で、リーディ圏としての次元関数〈次数関数〉は恒等関数です。したがって、球体圏では0-ソートと次元が一致します。球体圏は順行リーディ圏で、次元〈次数〉が下がる射〈1-ソート〉は存在しません。2つの0-ソート〈対象〉 $`i \lt j`$ に対して、ホムセット $`\mbf{g}(i, j)`$ は2つの要素を持ちます。2つの要素〈射 | 1-ソート〉を次のように書きます。

• $`\sigma_{i,j} : i \to j \In \mbf{g}`$
• $`\tau_{i,j} : i \to j \In \mbf{g}`$

次のように略記します。

• $`\sigma_{i} : i \to i + 1 \In \mbf{g}`$
• $`\tau_{i} : i \to i + 1 \In \mbf{g}`$

さらに習慣として、$`i`$ が推測可能なときは $`\sigma = \sigma_i`$ のように省略します。$`i\lt j\lt k`$ に対して次の関係式があります。

1. $`\sigma_{i,j}; \sigma_{j,k} = \sigma_{i, k} \In \mbf{g}`$
2. $`\tau_{i,j}; \tau_{j,k} = \tau_{i, k} \In \mbf{g}`$
3. $`\sigma_{i,j}; \tau_{j,k} = \sigma_{i, k} \In \mbf{g}`$
4. $`\tau_{i,j}; \sigma_{j,k} = \tau_{i, k} \In \mbf{g}`$

球体圏 $`\mbf{g}`$ の反対圏を $`\mbf{G} := \mbf{g}^\op`$ とします。次数関数〈次元関数〉はそのままとして、射の向きが $`\mbf{G}`$ では逆転します。球体圏の射〈1-ソート〉 $`\phi`$ に対する反対球体圏の射を $`\o{\phi}`$ とします。次のように約束します。

• $`s_{j, i} := \o{\sigma_{i, j}}`$
• $`t_{j, i} := \o{\tau_{i, j}}`$

反対球体圏は、逆行リーディ圏になります。恒等射以外の射は次元を下げます。

反対球体圏 $`\mbf{G}`$ では、$`k \gt j \gt i`$ に対して次の関係式があります。

1. $`s_{k, j} ; s_{j, i} = s_{k, i} \In \mbf{G}`$
2. $`t_{k, j} ; t_{j, i} = t_{k, i} \In \mbf{G}`$
3. $`t_{k, j} ; s_{j, i} = s_{k, i} \In \mbf{G}`$
4. $`s_{k, j} ; t_{j, i} = t_{k, i} \In \mbf{G}`$

球体圏 $`\mbf{g}`$ と反対球体圏 $`\mbf{G}`$ における上記の関係式は球体関係式〈globular {relation | equation | condition}〉と呼びます。通常は、球体圏の生成射〈generating morphism〉である $`\sigma_i, \tau_i`$ に関する関係式として提示されます。形状付き集合の値（面写像）達、位相実現関手の値達にも同様な関係式があります。また、図式順結合記号 '$`;`$' か反図式順結合記号 '$`\circ`$' かで左右の区別が変わります。ややこしいです。

球体集合

球体集合〈globular set〉は、球体圏 $`\mbf{g}`$ を形状圏とする形状付き集合です。言い方を変えると、$`\mbf{g}^\op \to \mbf{Set}`$ という関手が球体集合です。$`\mbf{g}^\op = \mbf{G}`$ だったので、$`\mbf{G} \to \mbf{Set}`$ という関手（共変関手）が球体集合だと言っても同じです。

球体集合を $`\mbf{G} \to \mbf{Set}`$ と考えたほうがおそらく分かりやすいですが、反変関手（ニセ反変関手、「イイカゲンとインチキを悔い改めるためのコスト」参照）と考えるのが主流の定義です。

球体集合を $`A`$ として、次の点には注意しましょう。

1. 0-ソート〈対象〉$`i`$ とその次元 $`\mrm{dim}(i) = i`$ は、概念としては別物だが、値は一致する。
2. 0-ソート $`i`$ と$`i`$-ソートセット $`A(i)`$ は別物である。ソートセットは集合である。
3. $`i`$-ソートセット $`A(i)`$ と$`i`$-セル $`x`$ は別物である。$`x\in A(i)`$ の関係がある。
4. 1-ソート $`\sigma_i, \tau_i`$ と、対応する面写像 $`A(\sigma_i), A(\tau_i)`$ は別物である。
5. 1-ソート $`\sigma_i, \tau_i`$ は次元を上げる順行1-ソートだが、対応する面写像 $`A(\sigma_i), A(\tau_i)`$ は次元を下げる。球体集合が反変関手なのでそうなる。
6. 面写像 $`A(\sigma_i), A(\tau_i)`$ は幾何的情報を持たない。組み合わせ的情報として、セルの境界面となるセルを特定する（割り当てる）写像。

球体集合の面写像 $`A(\sigma_i), A(\tau_i)`$ は次のように書きます。

1. $`s^A_i := A(\sigma_i),\: t^A_i := A(\tau_i)`$ 、上付きの $`A`$ を省略すると、反対球体圏の射と記法がコンフリクトする。コンフリクトを意図的同一視の目的で使うこともある。
2. $`\mrm{src}^A_i := A(\sigma_i),\: \mrm{trg}^A_i := A(\tau_i)`$ 、グラフの場合の記法を借用（球体集合はグラフの一般化であるから）
3. $`\mrm{dom}^A_i := A(\sigma_i),\: \mrm{cod}^A_i := A(\tau_i)`$ 、圏の場合の記法を借用（球体集合は無限次元圏の下部構造だから）

反射的球体圏と反射的球体集合

反射的球体圏〈reflexive globe category〉 $`\mbf{rg}`$ は、球体圏に以下のような逆行1-ソート（次元を下げる射）を追加したものです。

$`\quad \iota_i : i + 1 \to i \In \mbf{rg}`$

次の関係式があります。

• $`\sigma_{i} ; \iota_i = \mrm{id}_i \In \mbf{rg}`$
• $`\tau_{i} ; \iota_i = \mrm{id}_i \In \mbf{rg}`$

反射的球体集合〈reflexive globular set〉は、反射的球体圏を形状圏とする形状付き集合です。$`A`$ を反射的球体集合だとして、$`\iota_i`$ は逆行1-ソート なので、対応する写像 $`A(\iota_i)`$ は（$`i`$次元の）退化写像〈degeneracy map〉です。

反射的球体集合 $`A`$ の0次元の部分を考えると：

1. $`A(\sigma_0) : A(1) \to A(0) \In \mbf{Set}`$
2. $`A(\tau_0) : A(1) \to A(0) \In \mbf{Set}`$
3. $`A(\iota_0) : A(0) \to A(1) \In \mbf{Set}`$
4. $`A(\iota_0); A(\sigma_0) = \mrm{id}_{A(0)} \In \mbf{Set}`$
5. $`A(\iota_0); A(\tau_0) = \mrm{id}_{A(0)} \In \mbf{Set}`$

これは、記法を変えると小さい圏の下部構造になっています。$`\mrm{id}`$ が二つの意味で使われているので注意してください。

1. $`\mrm{dom}^A : \mrm{Mor}(A) \to |A| \In \mbf{Set}`$
2. $`\mrm{cod}^A : \mrm{Mor}(A) \to |A| \In \mbf{Set}`$
3. $`\mrm{id}^A : |A| \to \mrm{Mor}(A) \In \mbf{Set}`$
4. $`\mrm{id}^A ; \mrm{dom}^A = \mrm{id}_{|A|} \In \mbf{Set}`$
5. $`\mrm{id}^A ; \mrm{cod}^A = \mrm{id}_{|A|} \In \mbf{Set}`$

反射的球体集合は無限次元の厳密圏（法則が等式で成り立つ高次圏）の下部構造になります。