ファイバー積はコスパン（V字形の図式）の極限対象です。コスパンの拡張であるW字形の図式にもファイバー積が定義可能です。V字形からW字形への移行が自明のように扱っていることがありますが、それほど簡単とも言えません。$`\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}}
%\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}}
%\newcommand{\mbf}[1]{\mathbf{#1}}
%\newcommand{\msf}[1]{\mathsf{#1}}
%\newcommand{\o}[1]{\overline{#1}}
%\newcommand{\id}{\mathrm{id}}
%\newcommand{\op}{\mathrm{op}}
\newcommand{\In}{\text{ in }}
%\newcommand{\hyp}{ \text{－} }
%\newcommand{\twoto}{\Rightarrow }
\newcommand{\ot}{\leftarrow}
\newcommand{\NFProd}[3]{ \mathop{_{#1} \!\underset{#2}{ \times }\,\!_{#3} } }
`$
内容：
極限錐、プルバック四角形、ファイバー積
圏 $`\cat{C}`$ 内に次のようなコスパン〈cospan〉があったとします。
$`\quad \xymatrix{
X \ar[dr]_f
&{}
&Y \ar[dl]^g
\\
{}
&A
&{}
}\\
\quad \In \cat{C}
`$
冒頭で「V字形の図式」と書きましたが、V字形にレイアウトする必然性はなくて、V字形に描くと分かりやすいかな、ってだけです。「→←」のような形でも、「Λ」（上向きに矢印）のような形でもコスパンに変わりはありません。
上記コスパンの極限錐〈{limit | limiting} cone〉は次のように書けます。
$`\quad \xymatrix{
{}
&S \ar[dl] \ar[dr] \ar[dd]
&{}
\\
X \ar[dr]_f
&{}
&Y \ar[dl]^g
\\
{}
&A
&{}
}\\
\quad \text{Limit cone }\In \cat{C}
`$
単なる可換図式ではなくて、普遍性を持ちます。つまり、錐の圏のなかの終対象です。錐の頂点 $`S`$ は極限対象〈limit object〉です。
対角線を取り除くと四角形になります。対角線はいつでも足せるので、四角形だけでも極限錐と同じ情報を持ちます。この四角形はプルバック四角形〈pullback square〉と呼びます。内部に $`\text{p.b.}`$ と書いたら、それはプルバック四角形です（そう約束します）。
$`\quad \xymatrix{
{}
&S \ar[dl] \ar[dr]
\ar@{}[dd]|{\text{p.b.}}
&{}
\\
X \ar[dr]_f
&{}
&Y \ar[dl]^g
\\
{}
&A
&{}
}\\
\quad \In \cat{C}
`$
対象 $`S`$ は、最初に与えたコスパン $`X\overset{f}{\to} A \overset{g}{\ot}Y`$ のファイバー積〈fiber product〉と呼びます。しばしば、$`X`$ と $`Y`$ のファイバー積とも呼ばれ、$`X\times_A Y`$ と書かれます。しかし、この慣用的な呼び方と書き方は不正確で誤認誘発的〈misleading〉です。
ヴォエヴォドスキー〈Vladimir Voevodsky〉は、ファイバー積を $`(X, f)\times (Y, g)`$ のように書いてました。もっと図式に寄せるなら $`(X\overset{f}{\to})\times_A (\overset{g}{\ot} Y)`$ とか $`X \NFProd{f}{A}{g} Y`$ でしょうか。書くのが面倒ですが、正確で誤解は起きにくいでしょう。
3つを掛け算する： ファイバー積の場合
次の図式のような状況を考えます。
$`\quad \xymatrix{
X \ar[dr]_f
&{}
&Y \ar[dl]^g \ar[dr]_h
&{}
&Z \ar[dl]^k
\\
{}
&A
&{}
&B
&{}
}\\
\quad \In \cat{C}
`$
この図式の極限は、3つの因子のファイバー積のように扱われます。慣用的な（不正確な）書き方だと次のようです。
$`\quad (X\times_A Y) \times_B Z \cong X\times_A (Y \times_B Z) \cong X\times_A Y \times_B Z `$
積の結合律が成立して、因子が3つでも当たり前に積が定義できるように見えます。これは、簡素化した書き方のメリットとも言えますが、むしろデメリットの側面が大きいでしょう。簡素な書き方が、背後にある事実を覆い隠して目眩まし〈めくらまし〉をしているように思えます。
W字形の図式の極限を計算するのに、左側のコスパンのファイバー積を先に計算するなら次のようになります。
$`\quad \xymatrix{
{}
&{}
&U \ar[dl] \ar[ddrr]
\ar@{}[dddr]|{\text{p.b.}}
&{}
&{}
\\
{}
&S \ar[dl] \ar[dr]
\ar@{}[dd]|{\text{p.b.}}
&{}
&{}
&{}
\\
X \ar[dr]_f
&{}
&Y \ar[dl]^g \ar[dr]_h
&{}
&Z \ar[dl]^k
\\
{}
&A
&{}
&B
&{}
}\\
\quad \In \cat{C}
`$
一方、右側のコスパンのファイバー積を先に計算するなら次のようです。
$`\quad \xymatrix{
{}
&{}
&V \ar[ddll] \ar[dr]
\ar@{}[dddl]|{\text{p.b.}}
&{}
&{}
\\
{}
&{}
&{}
&T \ar[dl] \ar[dr]
\ar@{}[dd]|{\text{p.b.}}
&{}
\\
X \ar[dr]_f
&{}
&Y \ar[dl]^g \ar[dr]_h
&{}
&Z \ar[dl]^k
\\
{}
&A
&{}
&B
&{}
}\\
\quad \In \cat{C}
`$
左側のコスパンのファイバー積と右側のコスパンのファイバー積を別々に計算して、ファイバー積達（が作るコスパン）のファイバー積を求めるなら次の図のようになります。
$`\quad \xymatrix{
{}
&{}
&W \ar[dl] \ar[dr]
\ar@{}[dd]|{\text{p.b.}}
&{}
&{}
\\
{}
&S \ar[dl] \ar[dr]
\ar@{}[dd]|{\text{p.b.}}
&{}
&T \ar[dl] \ar[dr]
\ar@{}[dd]|{\text{p.b.}}
&{}
\\
X \ar[dr]_f
&{}
&Y \ar[dl]^g \ar[dr]_h
&{}
&Z \ar[dl]^k
\\
{}
&A
&{}
&B
&{}
}\\
\quad \In \cat{C}
`$
上記の $`U, V, W`$ が $`\cat{C}`$ のなかで同型であることは、それほど自明ではないでしょう。安直に「ファイバー積でも結合律が成立」とは言えないですよね。
そもそも、求めるべきはW字形の図式の極限だったので、次のような極限錐図式に注目すべきです。
$`\quad \xymatrix{
{}
&{}
&P \ar[ddll] \ar[dd] \ar[ddrr] \ar[dddl] \ar[dddr]
&{}
&{}
\\
{}
&{}
&{}
&{}
&{}
\\
X \ar[dr]_f
&{}
&Y \ar[dl]^g \ar[dr]_h
&{}
&Z \ar[dl]^k
\\
{}
&A
&{}
&B
&{}
}\\
\quad \text{Limit cone }\In \cat{C}
`$
ファイバー積の結合律を言うには、先の $`U, V, W`$ が、極限錐の頂点 $`P`$ と同型であることを示す必要があります。
集合圏の場合
集合圏では、ファイバー積は、直積集合と方程式〈等式的条件〉で具体的に構成できます。前節の三種類のファイバー積 $`U, V, W`$ が集合であるなら、次のように書くことができます。$`\pi_1, \pi_2`$ は第一／第二射影関数です。
$`\quad U =\{ ( (x,y), z) \in (X\times Y)\times Z\mid f(x) = g(y) \;\land\; h(\pi_2( (x, y) )) = k(z) \}`$
$`\quad V = \{ ( x, (y, z) ) \in X\times (Y\times Z)\mid h(y) = k(z) \;\land\; f(x) = h(\pi_1( (y, z) )) \}`$
$`\quad W = \{ ( (x, y), (y', z) ) \in (X\times Y)\times(Y\times Z) \mid f(x) = g(y) \;\land\; h(y') = k(z) \;\land\; y = y'\}`$
一番簡単な記述は次の形です。
$`\quad \{ ( x, y, z) \in X\times Y\times Z \mid f(x) = g(y) \;\land\; h(y) = k(z) \}`$
$`X\times Y\times Z`$ は、公平直積〈unbiased direct product〉で、その要素は入れ子になってないタプルです。
集合圏のなかでは、ファイバー積の結合律はほぼ自明に見えます。が、それは集合圏に具体的な構成法があるからで、どんな圏でも通用する話ではないです。
