構造を持つ概念的事物の記述と参照： コンパニオンを例に

「線形代数の二重圏 Double Linear Algebra」にて：

二重圏で（その他の高次圏でも）ウンザリすることは、図（ペースティング図またはストリング図）で表現されていることをテキスト記号列に翻訳することです。記法の約束を決めたり、約束によるエンコーディング／シリアライズでほんとに消耗します。出来るだけテキストを使わないことにすれば無駄に疲弊することは避けられます。しかし、描画のツール・環境が整っているわけでもないので、テキストを完全に避けることもできないというジレンマ。あー、しんどい。

これは深刻な問題で、ほんとにしんどい、辛い！

二重圏のコンパニオンを、“「線形代数の二重圏 Double Linear Algebra」で定義した具体的な二重圏 $`\mathbf{DLA}`$ のなかで記述する”ことを事例として、“深刻な問題”の対症療法を紹介します。現時点では、抜本的な解決策はありません。「なんとか頑張ろう」しか言えることがありません。$`\newcommand{\cat}[1]{ \mathcal{#1} }
\newcommand{\mbf}[1]{ \mathbf{#1} }
\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} }
%\newcommand{\mfk}[1]{\mathfrak{#1}}
%\newcommand{\msc}[1]{\mathscr{#1}}
%\newcommand{\mbb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\u}[1]{ \underline{#1} }
\newcommand{\id}{ \mathrm{id}}
\newcommand{\Id}{ \mathrm{Id}}
\newcommand{\ID}{ \mathrm{ID}}
%\newcommand{\op}{ \mathrm{op}}
\newcommand{\In}{ \text{ in }}
\newcommand{\hyp}{\text{－} }
%\newcommand{\Iff}{ \Leftrightarrow }
%\newcommand{\Imp}{ \Rightarrow }
\newcommand{\twoto} {\Rightarrow }
\newcommand{\pto} {\not\to }
\newcommand{\pcomp} {\mathop{\diamond} }
%\newcommand{\o}[1]{ \overline{#1} }
\newcommand{\DLA}{ \mathbf{DLA} }
\newcommand{\DM}[4]{ #1 \underset{#4}{\overset{#3}{\Box}} #2} % Double Morphism
\newcommand{\DO}[4]{ {^{#1}_{#3}\Box^{#2}_{#4}} } % Double Objects
\newcommand{\T}[1]{ \text{#1} }
\require{color}
\newcommand{\red}[1]{ \textcolor{red}{#1}}
\newcommand{\blue}[1]{ \textcolor{blue}{#1}}
`$

内容：

• 直示参照と名前による参照
• 指標による記述
• 構造／系として考える
• コンパニオン系の記述
• コンパニオン系に関して補足
• 言い回しと書き方
• そしてそれから

直示参照と名前による参照

図形の一部分を参照する際に、その場で眼の前で実際の絵図を（紙でもホワイトボードでも、あるいは情報機器の画面にでも）描いて、「この図形のこの部分」と指やポインターで差し示す方法を直示参照〈deixis | ダイクシス〉と呼びます。「この図形のこの部分」という文字列や発話音声だけを見て／聞いてもなんだかサッパリわかりませんが、現場にいれば「この図形のこの部分」をハッキリと認識できます。

それに対して、「四角形の4頂点を A, B, C, D として、4つの角はすべて直角として、辺 AB は左から右に水平に位置するとして、A, B, C, D はこの順番で時計回りだとする」のように、名前と言葉で状況設定した上で「対角線 AC」と参照するような、テキスト（名前、言葉、文言）ベースの説明もあります。

冒頭に引用した「あー、しんどい」は、二重圏／高次圏のような多次元構造物を、テキストベースで記述するときの“しんどさ”のことです。直示によるコミュニケーションがおこなえない環境では、構造物やその構成素達に名前を付けて、名前で参照しながら語る必要があります。

名前を付けないと語れない一方で、「指標から名前の削除 その2」で述べたように：

なぜにここまで名前の削除にこだわるのかと言うと、人は名前に意味を込める行為をしてしまうからです。それをやられると、構文論と意味論の議論が台無しになってしまいます。番号もある種の名前〈識別子〉ですが、意味を込める行為を防止できます。

名前を付けるのが大変なだけでなく名前の弊害もあるわけです。名前をすべて番号に置き換えることは、原理的には可能ですが、現実に番号だけでのコミュニケーションは無理です。これまたジレンマ。

それでも、出来ることはやってみましょう。事例は、二重圏のコンパニオンです -- 「二重圏のコンパニオン／コンジョイントと米田の星」でコンパニオンに触れています。

指標による記述

指標については、過去記事「構造記述のための指標と名前 1/n 基本」、「構造記述のための指標と名前 3/n 名前もっと」を参照してください。

僕は、「構造記述するなら指標が最強の手段だ」と言ってますが、これはまー当たり前で、まともな構造記述の手段が指標しかないのです。事実上一択なんだから、そりゃ最強ですわな。「一人しかエントリーしない競技会で優勝」と言っているようなもんです。

それはともかく、最近よく出している指標の例； 半群の指標を挙げます。

$`\T{signature }\T{Semigroup} \:\{\\
\quad \T{sort } U \In \mbf{Set}\\
\quad \T{operation } m : U\times U \to U \In \mbf{Set}\\
\quad \T{equation } \text{assoc} ::
(m\times \id_{U}); m \twoto \alpha_{U,U,U} ; (\id_{U} \times m); m
\In \mbf{Set}\\
\}
`$

キーワードは不要だし、名前の代わりに番号でもいいので、次のように書いてもかまいません。

$`\T{signature }\T{Semigroup} \:\{\\
\quad \_1 \In \mbf{Set}\\
\quad \_2 : \_1\times \_1 \to \_1 \In \mbf{Set}\\
\quad \_3 ::
(\_2 \times \id_{ \_1} ); \_2 \twoto \alpha_{\_1,\_1,\_1} ; (\id_{\_1} \times \_2); \_2
\In \mbf{Set}\\
\}
`$

名前が不要なことは次の記事に書いています。

• 指標から名前の削除
• 指標から名前の削除 その2

上記の指標（名前があってもなくても）は、集合圏〈集合達の圏〉のなかの半群、つまり普通の半群を定義します。別な圏、例えばベクトル空間達の圏のなかで半群を考えれば、それは非単位的代数〈nonunital algebra〉になります。

集合圏ではなくて、小さい圏達の2-圏*1のなかで定義される構造に随伴系〈adjunction | adjoint system〉があります。テキスト（文字と記号の列）としての指標の前に、絵図として描いた指標を挙げましょう。「アドホック随伴系と自由対象・台対象」「すべての随伴系達が作る構造は？」からの再掲です。

この絵図を、色（赤と青）を含めて、出来るだけ忠実に写し取ると、次のテキストによる指標になります。

$`\T{signature }\T{AdjointSystem }\:\{\\
\quad \red{\cat{D}} \In \mbf{Cat}\\
\quad \blue{\cat{C}} \In \mbf{Cat}\\
\quad \red{R} : \red{\cat{D}}\to \blue{\cat{C}} \In \mbf{Cat} \\
\quad \blue{L} : \blue{\cat{C}}\to \red{\cat{D}} \In \mbf{Cat} \\
\quad \red{\eta} :: \mrm{Id}_{ \blue{\cat{C}}} \twoto \blue{L} * \red{R} : \blue{\cat{C}}\to\blue{\cat{C}} \In \mbf{Cat} \\
\quad \blue{\varepsilon} :: \red{R}*\blue{L} \twoto \mrm{Id}_{\red{\cat{D}}} : \red{\cat{D} } \to\red{\cat{D}} \In \mbf{Cat} \\
\quad \red{\text{snake-1}} ::: (\mrm{ID}_{\red{R}} * \red{\eta});(\blue{\varepsilon}*\mrm{ID}_{\red{R}}) \Rrightarrow \mrm{ID}_{\red{R} }\\
\quad \blue{\text{snake-2}}::: (\red{\eta} * \mrm{ID}_{\blue{L}});(\mrm{ID}_{\blue{L} }* \blue{\varepsilon} ) \Rrightarrow \mrm{ID}_{\blue{L}}\\
\}
`$

テキストにする際に名前がどうしても必要なので、8つの名前を導入しました。もちろん、名前の選び方はまったく恣意的なので、他の名前にしても意味は同じです。原理的には（現実的にはではない）1 から 8 の番号でもいいわけです。

構造／系として考える

前節で随伴系の指標を出しました。随伴系はひとつの構造〈structure〉／系〈system〉であり、その構造／系を記述するために指標を使ったのです。

「随伴ペア」とか「右随伴関手」といった言葉がありますが、これらは随伴系という構造／系を背景にして、その構造／系の一部に呼び名を付けているのです。「右随伴関手」を、「『右随伴』という性質を持つ関手」だろうと思ったりするのはダメです。そうではなくて、随伴系という構造／システムのなかで「右随伴関手」という役割りを担う関手のことを「右随伴関手」と呼んでいるのです。

どうしても単一の関手 $`F`$ の性質として「右随伴」を解釈したいなら次のようです。

• なんらかの随伴系が存在して、$`F`$ はその随伴系の右随伴関手という役割りを担える。

いずれにしても、随伴系という構造／系を想定することになります。単独の関手ではなくて、構造／系を考えるのが大事です。

二重圏のコンパニオンやコンジョイントも同様で、とある構造／系を想定して、そのなかの役割りとしてコンパニオンやコンジョイントがあるのです。

コンパニオン系の記述

「線形代数の二重圏 Double Linear Algebra」にて：

これらの各種結合、各種恒等射に対して、結合法則と単位法則があります。それとタイト方向の結合とプロ方向の結合の相互関係を記述する交替法則があります。それらの法則をテキストで記述するのはやめておきます。煩雑になるし、テキストで書かなくても容易に推測できるでしょう。

「テキストで記述するのはやめておきます。」と書いてますが、この記事ではやります。二重圏の事物を、頑張ってテキスト記述します。「ペースティング図やストリング図をそのまま使おう」という意見もあるでしょうが、テキストの体裁にしたいこともあるので、やります。

タイト射〈線形射〉とプロ射〈線形プロ射〉に関しては、「線形代数の二重圏 Double Linear Algebra」と同様の記法で書きます。

$`\quad F: V \to W \In \DLA`$
$`\quad A: V \pto W \In \DLA`$

二重射は次の形でテキスト表記することにします。すぐ下は対応するペースティング図です。

$`\quad \alpha :: \DM{F}{G}{A}{B} : \DO{V}{W}{X}{Y}\In \DLA`$

$`\quad \xymatrix{
V \ar[r]|{/}^A \ar[d]_F
\ar@{}[dr]|{\alpha}
& W \ar[d]^G
\\
X \ar[r]|{/}_B
& Y
}\\
\quad \In \DLA
`$

恒等射は4種類、利便性を考えたら5種類もあるので、どう書き分けましょうか？ 他の記法との関係性もあるので毎回決めることになるでしょうが、今日のところは次のように決めときます。

$`\quad \id_V : V \to V \In \DLA`$

$`\quad \Id_V : V \pto V \In \DLA`$

$`\quad \ID^=_F :: \DM{F}{F}{\Id_V}{\Id_W} : \DO{V}{V}{W}{W}\In \DLA`$

$`\quad \xymatrix{
V \ar[r]|{/}^{\Id_V} \ar[d]_F
\ar@{}[dr]|{=}
& V \ar[d]^F
\\
W \ar[r]|{/}_{\Id_W}
& W
}\\
\quad \In \DLA
`$

$`\quad \ID^{||}_A :: \DM{\id_V}{\id_W}{A}{A}: \DO{V}{W}{V}{W} \In \DLA`$

$`\quad \xymatrix{
V \ar[r]|{/}^A \ar[d]_{\id_V}
\ar@{}[dr]|{||}
& W \ar[d]^{\id_W}
\\
V \ar[r]|{/}_{A}
& W
}\\
\quad \In \DLA
`$

$`\quad \ID^{\Box}_V :: \DM{\id_V}{\id_V}{\Id_V}{\Id_V} : \DO{V}{V}{V}{V}\In \DLA`$

$`\quad \xymatrix{
V \ar[r]|{/}^{\Id_V} \ar[d]_{\id_V}
\ar@{}[dr]|{\Box}
& V \ar[d]^{\id_V}
\\
V \ar[r]|{/}_{\Id_V}
& V
}\\
\quad \In \DLA
`$

準備ができたので、二重圏 $`\DLA`$ 内のコンパニオン系〈companion system〉の指標を書きましょう。次のようです。

$`\T{signature }\T{CompanionSystem }\{\\
\quad V \In \DLA\\
\quad W \In \DLA\\
\quad F : V \to W \In \DLA\\
\quad A : V \pto W \In \DLA\\
\quad \varepsilon2 :: \DM{F}{\id_W}{A}{\Id_W} : \DO{V}{W}{W}{W} \In \DLA\\
\quad \eta1 :: \DM{\id_V}{F}{\Id_V}{A} : \DO{V}{V}{V}{W} \In \DLA\\
\quad \text{kink-1} ::: \eta1 ; \varepsilon2 \Rrightarrow \ID^{=}_F
:: \DM{F}{F}{\Id_V}{\Id_W} : \DO{V}{V}{W}{W}\In \DLA\\
\quad \text{kink-2} ::: \eta1 \pcomp \varepsilon2 \Rrightarrow \ID^{||}_A
:: \DM{\id_V}{\id_W}{A}{A}: \DO{V}{W}{V}{W} \In \DLA \\
\}`$

$`\DLA`$ 内のコンパニオン系は8個の構成素達を持つ構造・系です。次節で補足説明をします。

コンパニオン系に関して補足

前節の指標が「コンパニオン系のすべてだ」とも言えるのですが、形式的な定義以外に心理的な納得感も欲しくなるのが人情です。

まず、二重射に付けた名前 $`\varepsilon2, \eta1`$ が気になるかもしれません。これは、随伴系に出てくる単位 $`\eta`$ と余単位 $`\varepsilon`$ を“半分に切った”片割れということです。次のストリング図を見てください。（[追記]以下のストリング図の方向が間違っています。下に訂正あり。[/追記]）

$`\quad \xymatrix{
*+[o][F]{\eta1} \ar@{-}[r] \ar@{-}[d]
& *+[o][F]{\eta2} \ar@{-}[d]
& {} \ar@{-}[d]
&{} \ar@{-}[d]
\\
{}
&{}
& *+[o][F]{\varepsilon1} \ar@{-}[r]
& *+[o][F]{\varepsilon2}
}
`$

左側は、カーブに沿って180度回る単位 $`\eta`$ を90度ずつの2つのコーナー $`\eta1, \eta2`$ に分解したものです。右側は、同じく180度回る余単位 $`\varepsilon`$ を2つのコーナー $`\varepsilon1, \varepsilon2`$ に分解したものです。$`\eta1, \varepsilon2`$ がコンパニオンの記述に使われ、$`\eta2, \varepsilon1`$ がコンジョイントの記述に使われます。

コーナーと後述のキンクの話は次の過去記事にもあります。

• コーナー、キンク、ニョロニョロ

前節の指標内の記号 '$`\Rrightarrow`$' は二重圏の3-射で、これは二重射のあいだの等式です。$`\text{kink-1}`$ は次の等式です。

$`\quad \eta1 ; \varepsilon2 = \ID^{=}_F \In \DLA`$

そして、$`\text{kink-2}`$ は次の等式です。

$`\quad \eta1 \pcomp \varepsilon2 = \ID^{||}_A \In \DLA`$

これらは、「コーナー、キンク、ニョロニョロ 」で述べたキンク・ストレッチング公式で、ストリング図で描けば次のようになります。

$`\quad
\begin{array}{lcr}
\xymatrix{
{}
&*+[o][F]{\eta1} \ar@{-}[r] \ar@{-}[d]^A
&{F}
\\
{F} \ar@{-}[r]
&*+[o][F]{\varepsilon2}
&{}
}
&
\xymatrix{
{}
\\
{\overset{\text{kink-1} }{\Rrightarrow} }
\\
{}
}
&
\xymatrix{
{}
&{}
&{}
\\
{F}\ar@{-}[rr]
&{}
&{F}
}
\end{array}
`$

$`\quad
\begin{array}{llr}
\xymatrix{
{}
&{A} \ar@{-}[d]
\\
*+[o][F]{\eta1} \ar@{-}[r]^F \ar@{-}[d]
&*+[o][F]{\varepsilon2}
\\
{A}
&{}
}
&
\xymatrix{
{}
\\
{\overset{\text{kink-2} }{\Rrightarrow} }
\\
{}
}
&
\xymatrix{
{A}\ar@{-}[dd]
\\
{}
\\
{A}
}
\end{array}
`$

言い回しと書き方

コンパニオン系があるとき、その構成素である $`F`$ と $`A`$ に注目して、次のような言い回しを使います。

• $`A`$ は、$`F`$ のコンパニオン〈companion〉である。
• $`F`$ は、$`A`$ をコンパニオンとして持つ。
• $`F`$ と $`A`$ は、コンパニオン・ペア〈companion pair〉である。

「随伴ペアである」を表すには記号 '$`\dashv`$' がありますが、コンパニオン・ペアの記号を決めても忘れそうなので、英語風〈English-like〉な文字列の関係記号〈ニ項述語記号〉を使ことにします。

• $`A \text{ is-compa }F \In \DLA`$
• $`F \text{ has-compa }A \In \DLA`$
• $`(F, A) \text{ are-compa } \In \DLA`$

再度強調しますが、$`F`$ と $`A`$ に注目して言及している場合でも、8つの構成素を持つ構造／系が存在します。構成素である二重射（コーナー）や等式〈3-射〉（キンク・ストレッチング）がなければ、「コンパニオン・ペアである」と言うことは出来ません。

そしてそれから

ここまで、個別特定な二重圏 $`\DLA`$ のなかで話をしてきましたが、コンパニオン系の定義は一般の二重圏に対してもそのまま通用します。実は一般論だったのです。

では、$`\DLA`$ のなかでのコンパニオン系は、線形代数的にはどんな意味があるのでしょうか？ それを知るには、$`\DLA`$ の定義に基づきコンパニオン系の定義をアンパック〈具体的に分解〉してみる必要があります。それはまたの機会に。