「リントンの定理」より：
スケマティックなリントンの代数-モデル対応定理を完全に記述したいと、以前から思ってはいるのですが、そのめんどくささに気力が萎えてしまうのですよ。しかしまー、ちょびちょびと準備を重ねて、いつか完全な記述を完成させたいですね。
リントンの定理（「リントンの定理： 概要、実例、注意事項」も参照）を構成する個々のビルディングブロックは、小学校で習う事やプログラマーなら誰でも知っているような事です。それらの簡単なビルディングブロックが大量にあり、コツコツと積み重ねていくことは、なかなかに大変な作業となるのです。
この記事で、指標からリントン／ローヴェア・モナド（「リントンの定理： 概要、実例、注意事項」を参照）を構成するための、具体的な表示を与える公式〈明示公式 | explicit formula〉をメモしておきます。ただし、後述の明示公式には曖昧な部分があり、クリスタル・クリアってわけではないです。余極限やコエンドを使うと、もう少しカッコよくなるかも知れません、そこらへんも整理できてません。まだまだ改善の余地はあります。$`
\newcommand{\cat}[1]{ \mathcal{#1} }
\newcommand{\mbf}[1]{ \mathbf{#1} }
\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} }
\newcommand{\msf}[1]{\mathsf{#1}}
\newcommand{\msc}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\mbb}[1]{\mathbb{#1}}
%\newcommand{\o}[1]{ \overline{#1} }
\newcommand{\u}[1]{ \underline{#1} }
%\newcommand{\id}{ \mathrm{id} }
\newcommand{\In}{ \text{ in }}
%\newcommand{\On}{ \text{ on }}
%\newcommand{\Iff}{ \Leftrightarrow }
%\newcommand{\Imp}{ \Rightarrow }
%\newcommand{\op}{ \mathrm{op}}
\newcommand{\hyp}{\text{－} }
\newcommand{\H}{\text{-} }
%\newcommand{\twoto}{\Rightarrow }
`$
内容：
モナドの書き方
ここでは、記号の乱用を使わずに、モナド $`M`$ を、次のように書きます。
$`\quad M = (\u{M}, \mu_M, \eta_M)/\cat{C}`$
$`\u{M}`$ はモナドの台関手〈underlying functor〉で、圏 $`\cat{C}`$ 上の自己関手です。
$`\quad \u{M} : \cat{C} \to \cat{C} \In \mbf{CAT}`$
台関手の対象パート〈object part〉は次のような写像〈関数〉になります。
$`\quad \u{M}_\mrm{obj} : |\cat{C}| \to |\cat{C}| \In \mbf{SET}`$
色達の集合を特定したP-バンドル
$`P\H\mbf{Bun}`$ は、$`P`$-バンドル達の圏（「一般化ハイパーグラフ → P-バンドル、P-ファミリー」参照）だとします。単に $`\mbf{Bun}`$ と書いたらそれは、（集合のあいだの）バンドル達の圏（「アロー圏 ＝ バンドルの圏」参照）です。$`\mbf{Bun}[B]`$ は、ベース集合が $`B`$ であるバンドル達とベースパートが $`B`$ の恒等射であるバンドル射達の圏です。
$`P\H\mbf{Bun}_C`$ は、色達の集合〈set of colors〉が $`C`$ である$`P`$-バンドル達の圏です。次が成立します。
$`\quad P\H\mbf{Bun}_C = \mbf{Bun}[P(C)] \In \mbf{CAT}`$
指標に対するリントン／ローヴェア・モナド
$`\Sigma`$ が指標だとします。スケマティック〈絵図的な〉な定式化では、$`\Sigma`$ は描画のためのツールバッグ〈toolbag for drawing〉（「ストリング図、ストリング図動画が“使える”とは？」参照）です。$`\Sigma`$ のソート達（「ソート」と「色」は同義語）は $`C`$ の部分集合で、$`\Sigma`$ のオペレーション（の名前・記号）のプロファイル達は $`P(C)`$ の部分集合になっているとします。この条件を満たす指標達の圏は $`P\H\mbf{Sign}_C`$ と書きます。
$`\quad \Sigma \in |P\H\mbf{Sign}_C|`$
指標〈ツールバッグ〉$`\Sigma`$ に対応するリントン／ローヴェア・モナドを $`\mbb{L}_\Sigma`$ とします。
$`\quad \mbb{L}_\Sigma = (\u{\mbb{L}_\Sigma}, \mu_{\mbb{L}_\Sigma}, \eta_{\mbb{L}_\Sigma} )/ P\H\mbf{Bun}_C`$
リントン／ローヴェア・モナドを $`\mbb{L}_\Sigma`$ の基礎圏*1は $`P\H\mbf{Bun}_C`$ なので、台関手は次のような自己関手です。
$`\quad \u{\mbb{L}_\Sigma} : P\H\mbf{Bun}_C \to P\H\mbf{Bun}_C \In \mbf{CAT}`$
台関手の対象パートの明示公式
リントン／ローヴェア・モナド $`\mbb{L}_\Sigma`$ の台関手 $`\u{\mbb{L}_\Sigma}`$ の対象パート $`(\u{\mbb{L}_\Sigma})_\mrm{obj}`$ を具体的に与える明示公式は、おそらく次のようでしょう。
$`\text{For }P : \mbf{Set} \to \mbf{Set} \In \mbf{CAT}\\
\text{For }C \in |\mbf{Set}| \\
\text{For }\Sigma \in |P\H\mbf{Sign}_C| \\
\quad (\u{\mbb{L}_\Sigma})_\mrm{obj} :=
\lambda\, X\in |P\H\mbf{Bun}_C |.\,\Phi(X) \\
\quad \text{where }\: \Phi(X) := \\
\qquad {\displaystyle\int_{P(C)}}
\lambda\, A\in P(C).(\\
\qquad\qquad \left({\displaystyle\sum_{H\in |P\H\mbf{Bun}^\mrm{fin}_C| }}
\mrm{Templ}^\Sigma_X(H, A) \times P\H\mbf{Bun}_C(H, X)
\right)/\sim\\
\qquad\qquad )
`$
ここで：
- $`P`$ は$`P`$-バンドルのプロファイル・コンストラクタ（「一般化ハイパーグラフ // 一般化ハイパーグラフ」参照、ただし、用語法はその後の記事「一般化ハイパーグラフ → P-バンドル、P-ファミリー」で変更している）。
- $`C`$ は$`P`$-バンドルの色達の集合〈set of colors〉（「一般化ハイパーグラフ → P-バンドル、P-ファミリー」参照）。
- $`\Sigma`$ は前節で述べた条件を満たす指標、あるいはツールバッグ（「ストリング図、ストリング図動画が“使える”とは？」参照）。
- $`\lambda`$ は、ラムダ記法のラムダ抽象の記号。
- $`{\displaystyle \int}`$ は、グロタンディーク構成（前層／余前層に対しては要素の圏〈category of elements〉）を表す記号。
- $`{\displaystyle \sum}`$ は、シグマ型（集合達の総直和）を表す記号。
- $`P\H\mbf{Bun}^\mrm{fin}_C`$ は、セル達（「一般化ハイパーグラフ → P-バンドル、P-ファミリー」参照）の集合が有限である$`P`$-バンドル達からなる $`P\H\mbf{Bun}_C`$ の充満部分圏。
- $`\mrm{Templ}^\Sigma_X(H, A)`$ は、次の条件を満たすストリング図テンプレート達（「ストリング図、ストリング図動画が“使える”とは？」参照）の集合。
- ワイヤーとボックスは、$`\Sigma`$ で提供される素材を使って組み立てる。
- スポット（「穴、スポット、エリア、シーム」参照）の内容は、$`X`$ のセルにより埋める。
- 穴達のプロファイルの有限コレクション（「有限コレクション： 再配置の圏から」参照）は、$`H`$ である。
- ストリング図全体のプロファイル（キャンバスボックスのプロファイル）は $`A`$ である。
- $`P\H\mbf{Bun}_C(\hyp, \hyp)`$ は、圏 $`P\H\mbf{Bun}_C`$ のホムセット。
- $`\sim`$ は同値関係。この同値関係が現状あまりクリアではない。
上記の明示公式は、台関手の対象パートしか記述してないので、射パートの明示公式も必要です。そして、モナド乗法 $`\mu_{\mbb{L}_\Sigma}`$ とモナド単位 $`\eta_{\mbb{L}_\Sigma}`$ を与える明示公式も必要です。
*1:最近の用語法だと「ルート圏〈root category〉」と呼ぶべきかも知れません。
