射の結合〈合成〉記号が奇妙、ヴォエヴォドスキーとカートメル

ヴォエヴォドスキー〈Vladimir Voevodsky〉は、射の結合〈合成 | composition〉を図式順記法で書いています。つまり、「左の射の次に右の射」という順序。で、なんと、図式順結合の記号には白丸（'$`\circ`$'）を使っているんです。例えば、次の論文（たまたま選んだだけ）のなかで分かりやすい事例を探してみましょう。

• [Voe1x]
• Title: Products of families of types and (Π, λ)-structures on C-systems
• Author: Vladimir Voevodsky
• Date: 不明（2016か2017か？*1）
• Pages: 51p
• URL: https://www.math.ias.edu/Voevodsky/files/files-annotated/Dropbox/Published_papers/Notes_on_TYpe_Systems/FromunivwithPiI/From_a_univ_with_Pi_I.pdf

p.18 のセクション〈section〉の定義が以下：

[追記]ありり？ なんかオカシイ。$`Id_X`$ は $`Id_Y`$ の間違いかな。射の結合の順番だけ気にしていて、見逃していたけど。以下、$`Id_Y`$ だとします。
[/追記]

2つの射が出てきます。

1. $`p: X\to Y`$
2. $`s: Y\to X`$

これに対する等式が $`s\circ p = Id_Y`$ （下図）だから、白丸 '$`\circ`$' は図式順に使われていますね。

$`\quad \xymatrix{
{}
& X \ar[dr]^p
&{}
\\
Y \ar[ur]^s \ar[rr]_{Id_Y}
&{}
&Y
}\\
\quad\text{commutative}
`$

こんな書き方するのはヴォエヴォドスキーだけだろう、と思っていたのですが、そうじゃなかった。カートメル〈John Cartmell〉も図式順の白丸を使っています。ヴォエヴォドスキーはカートメルに影響を受けているので、カートメルに倣ったのかも知れません。

• [Car20-23]
• Title: Preparation for a Mathematical Theory of Data
• Author: John Cartmell
• Date: DRAFTED October 2020, REVISED November 2023
• Pages: 15p
• URL: https://www.researchgate.net/publication/344787581_Preparation_for_a_Mathematical_Theory_of_Data

上記論文（これもたまたま）の p.4, "2.3 Sketches" に出てくる記述：

$`f_1\circ \cdots \circ f_n`$ に対応する射のパスは左から右なので、記法は図式順です。

僕は図式順派なのですが、白丸記号を使う気にはならないな。混乱を助長するよね。