自分の印象に残っていたロルの定理は、一般的なものではなくて、微分幾何の準備としての一変数関数の文脈で教わったものだったようだ。
微分幾何に限らずほとんどの分野で、「微分できるが導関数は不連続」「内部では定義できるが、境界まで延長はできない」といった関数は扱いにくいので除外する。つまり、次のような関数しか扱わない。
- r回微分できて、導関数は連続関数。r = ∞ もあり得る（つうか、ほとんど r = ∞）。
- 関数もそのr回導関数も、境界（もしあれば）まで連続に延長できる。
この前提だと、「$`f`$ に最大値の定理を適用」ではなくて、「$`f'`$ に中間値の定理を適用」でもロルの定理を証明できる。ただし、関数の増減と微分係数の関係はやはり必要で、次も使う。
- $`f`$ の、すべての点における微分係数が正 ⇔ $`f`$ は、厳密に増加関数
「厳密に増加関数」とは、
- $`x\lt y \Rightarrow f(x)\lt f(y)`$
が成立すること。
