最大値の定理が必要になる理由

1. $`I`$ を開区間として、微分を線形写像 $`D:C^1(I)\to C^0(I)`$ と考える。
2. $`D`$ の“逆”が不定積分だ。
3. しかし、$`D`$ がほんとに可逆ってわけではない。
4. 線形代数の知識から、商空間 $`C^1(I)/\mathrm{ker}(D)`$ を作れば、ほんとに可逆にできる。
5. となると、核空間 $`\mathrm{ker}(D)`$ が知りたい。
6. $`\mathrm{ker}(D) = \{f\in C^1(I) \mid D(f) = 0\}`$ だから、微分して 0 になる関数がわかればいい。
7. 定数関数は微分して 0 はすぐ分かる、逆の定理が欲しい。
8. 平均値の定理を使えば、「微分して 0 なら、定数関数」が出る。
9. 平均値の定理の特殊ケースをロルの定理というらしい。ロルの定理から平均値の定理が出る。
10. ロルの定理は、最大値の定理から出る。
11. 最大値の定理は必要だ。

最大値の定理から、微分作用素 $`D`$ の核空間が定数関数達の空間だと分かる。これにより、とある連続関数の不定積分達の空間が1次元空間だとわかる。1次元分の自由度は積分定数で表される。