変数や戻り値の個数が2まで扱ったほうが見通しがよい。その後、n個の実数変数、m個の実数戻り値まで一般化するが。$`
\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\mbf}[1]{\mathbf{#1}}`$
扱う関数
1実数変数、1実数戻り値のとき：
$`\quad f: \mbf{R}\supseteq A \to \mbf{R}`$
$`A`$ は区間（無限区間でもよい）。
伝統的記法では：
$`\quad y = f(x) \:\text{ for }x\in A`$
2実数変数、1実数戻り値のとき：
$`\quad f: \mbf{R}^2\supseteq A \to \mbf{R}`$
$`A`$ は単連結領域（無限領域でもよい）。
伝統的記法では：
$`\quad z = f(x, y) \:\text{ for }(x, y)\in A
`$
例：
$`\quad z = x^2 + y^2 \:\text{ for }(x, y)\in \mbf{R}^2`$
1実数変数、2実数戻り値のとき：
$`\quad f: \mbf{R}\supseteq A \to \mbf{R}^2`$
$`A`$ は区間（無限区間でもよい）。平面内の曲線。
伝統的記法では：
$`\quad x = f_1(t), y = f_2(t) \:\text{ for } t \in A
`$
例：
$`\quad x = \cos t, y = \sin t \:\text{ for } t \in [0, 2\pi]`$
2実数変数、2実数戻り値のとき：
$`\quad f: \mbf{R}^2\supseteq A \to \mbf{R}^2`$
$`A`$ は単連結領域（無限領域でもよい）。平面の一部から平面内への写像。
伝統的記法では：
$`\quad z = f_1(x, y), w = f_2(x, y) \:\text{ for } (x, y) \in \mbf{R}^2
`$
例：
$`\quad z = \sqrt{x^2 + y^2}, w = \cos^{-1}\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \:\text{ for }(x, y)\in (\mbf{R}^2\setminus\{(0, 0)\})
`$
微分操作
関数は無限回微分可能とする。
1実数変数、1実数戻り値のとき：
$`\quad D: C^\infty(A) \to C^\infty(A)`$
$`A`$ は区間（無限区間でもよい）。
伝統的記法では：
$`\quad D(f) = \frac{d}{dx} f(x)`$
「関数は従属変数」とみなすより古い形式では：
$`\quad D(f) = \frac{dy}{dx}`$
2実数変数、1実数戻り値のとき：
$`\quad D_1: C^\infty(A) \to C^\infty(A)`$
$`\quad D_2: C^\infty(A) \to C^\infty(A)`$
$`A`$ は単連結領域（無限領域でもよい）。
伝統的記法では：
$`\quad D_1(f) = \frac{\partial}{\partial x} f(x, y)`$
$`\quad D_2(f) = \frac{\partial}{\partial y} f(x, y)`$
より古い形式では：
$`\quad D_1(f) = \frac{\partial z}{\partial x}`$
$`\quad D_2(f) = \frac{\partial z}{\partial y}`$
1実数変数、2実数戻り値のとき：
$`\quad D: C^\infty(A)\times C^\infty(A) \to C^\infty(A)\times C^\infty(A)`$
$`A`$ は区間（無限区間でもよい）。平面内の曲線。
伝統的記法では：
$`\quad D(f) = D(f_1, f_2) = (\frac{d}{dt}f_1(t), \frac{d}{dt} f_2(t) )`$
より古い形式では：
$`\quad D(f) = (\frac{d x}{dt}, \frac{d y}{dt})`$
2実数変数、2実数戻り値のとき：
$`\quad D_1: C^\infty(A)\times C^\infty(A) \to C^\infty(A)\times C^\infty(A)`$
$`\quad D_2: C^\infty(A)\times C^\infty(A) \to C^\infty(A)\times C^\infty(A)`$
$`A`$ は単連結領域（無限領域でもよい）。平面の一部から平面内への写像。
伝統的記法では：
$`\quad D_1(f) = D_1(f_1, f_2) = (\frac{\partial}{\partial x}f_1(x, y), \frac{\partial}{\partial x} f_2(x, y))`$
$`\quad D_2(f) = D_2(f_1, f_2) = (\frac{\partial}{\partial y}f_1(x, y), \frac{\partial}{\partial y} f_2(x, y))`$
行列形式にしてまとめると（横を縦にしているので注意）：
$`\quad \mbf{D}(f) = \begin{pmatrix} D_1(f) & D_2(f)\end{pmatrix}\\
=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial}{\partial x}f_1(x, y) & \frac{\partial}{\partial y} f_1(x, y) \\
\frac{\partial}{\partial x}f_2(x, y) & \frac{\partial}{\partial y} f_2(x, y)
\end{pmatrix}
`$
より古い形式では：
$`\quad \mbf{D}(f) =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial z}{\partial x} & \frac{\partial z}{\partial y} \\
\frac{\partial w}{\partial x} & \frac{\partial w}{\partial y}
\end{pmatrix}
`$
