多項式と多項式関数の関係をハッキリさせる問題を“ToThinkリスト”に入れておこう。$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\mbf}[1]{\mathbf{#1}}
`$
体
加減乗除（ゼロ除算は除く）が自由にできて、常識的な計算法則を満たす代数系を体と呼ぶ。体の例は：
- $`\mbf{R}`$ 実数体
- $`\mbf{Q}`$ 有理数体
- $`\mbf{C}`$ 複素数体
- $`\mbf{F}_2,\mbf{F}_3,\mbf{F}_5, \cdots`$ 有限体
素数 $`p`$ に対して、$`\mbf{F}_p := \mbf{Z}/p\mbf{Z}`$ で、$`\mrm{mod}\; p`$ の計算（時計の計算）をすると有限体になる。
多項式環
$`K`$ を体とする。通常、不定元（変数文字）が $`x`$ の$`K`$-係数多項式環は $`K[x]`$ と書くが、ここでは $`\mrm{Polynom}(K)[x]`$ も使う。
$`\mbf{F}_3`$ の3つの要素を $`\bar{0}, \bar{1}, \bar{2}`$ と書くことにして、$`x^2 + \bar{2}x + \bar{2}`$ は $`\mrm{Polynom}(\mbf{F}_3)[x]`$ の要素になる。
不定元にどんな文字を使うかは、多項式環の構造に影響はないので、不定元の違いを無視した多項式環は $`\mrm{Polynom}(K)`$ と書く。不定元無しで多項式を表示するには、係数達を次数の降順に並べる方法がある。次数が高い部分はゼロが続くとみなす。
$`\quad x^2 + \bar{2}x + \bar{2} \longleftrightarrow (\bar{2}, \bar{2}, \bar{1}, \bar{0}, \bar{0}, \cdots)`$
関数集合、関数環
一般に、$`X,Y`$ を集合として、$`X`$ から $`Y`$ へのすべての関数〈写像〉達の集合を $`\mrm{Map}(X, Y)`$ と書く。
$`K`$ が体のとき、$`K`$ の加減乗を使って $`\mrm{Map}(X, K)`$ を環にできる。環の構造を備えた関数集合を関数環と呼ぶ。
多項式関数
$`K`$-係数多項式 $`p`$ と $`a\in K`$ に対して、“$`p`$ の $`a`$ における値”は確実に計算できるので、$`K\to K`$ という関数が定義できる。この関数を $`\mrm{fun}(p)`$ とする。
$`\quad \mrm{fun}(p) : K \to K`$
$`p \mapsto \mrm{fun}(p)`$ という対応は次の関数〈写像〉を定義する。
$`\quad \mrm{fun} : \mrm{Polynom}(K) \to \mrm{Map}(K, K)`$
この関数の像 $`\mrm{Img}(\mrm{fun}) \subseteq \mrm{Map}(K, K)`$ が、多項式関数の集合になる。次の問題を考えることができる。
- 関数 $`\mrm{fun}`$ は全射か？
- 関数 $`\mrm{fun}`$ は単射か？
言い方を変えると：
- $`K`$ から $`K`$ への関数は多項式関数か？
- 多項式関数の表示である多項式は一意に決まるか？
この問題の答は係数体 $`K`$ に依存する。
