※ 閉区間を入れてもいいのだが、開区間が扱いやすいので開区間のみを考える。
※ 用語・記号は 一次方程式と微積分の基本定理 - (2nd) 檜山正幸のキマイラ飼育記 と同じ。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} }
\newcommand{\mbf}[1]{ \mathbf{#1} }`$
復習
$`I, J`$ などは $`\mbf{R}`$ の開区間とする。$`I\ne J`$ なら、$`C^1(I)`$ と $`C^1(J)`$ は別なベクトル空間。微分作用素も違う線形写像なので、次のように書く。
$`\quad D_I : C^1(I) \to C(I)`$
$`\quad D_J : C^1(J) \to C(J)`$
区間 $`I`$ 上の定数関数からなるベクトル空間を $`K(I)`$ と書く。'K' はドイツ語 Konstant から。次の包含関係（ベクトル空間だから、部分ベクトル空間の関係）がある。
$`\quad K(I) \subset C^1(I) \subset C(I)`$
微積分の基本定理は：
- $`\mrm{Img}(D_I) = C(I)`$
- $`\mrm{Ker}(D_I) = K(I)`$
- $`K(I) \cong \mbf{R}`$
これらから、一次方程式 $`D_I(f) = g`$ の解空間 $`S`$ の構造が分かる。
$`\quad S = G + \mrm{Ker}(D_I)\\
\quad \text{where }D_I(G) = g
`$
単一区間ではないとき
$`I\coprod J`$ は、$`I\cup J`$ のことだが、$`I\cap J = \emptyset`$ を前提として使う。
次が成立する。
- $`C^1(I\coprod J) \cong C^1(I) \times C^1(J)`$
- $`C(I\coprod J) \cong C(I) \times C(J)`$
$`I\coprod J`$ 上では、微積分の基本定理が変わってくる。
- $`\mrm{Img}(D_{I\coprod J}) = C(I\coprod J)`$
- $`\mrm{Ker}(D_{I\coprod J}) = K(I) \times K(J)`$
- $`K(I) \times K(J) \cong\mbf{R}^2`$
つまり、微分作用素 $`D_{I\coprod J}`$ の核空間は2次元ベクトル空間となる。
