線形写像の核と像

核の行列表示

$`U = \mbf{R}^p, V = \mbf{R}^n, W = \mbf{R}^m`$ という場合を考える。$`f`$ の行列を $`A`$ 、$`g`$ の行列を $`B`$ とする。すると：

$`\quad x\in \mrm{ker}(f)\\
\iff \\
\quad A x = 0
`$

$`A x = 0`$ を成分（上下添字を使う）に展開して書くと：

$`
\left\{
\begin{array}{l}
a_1^1 x_1 + \cdots + a_1^n x_n = 0 \\
\vdots \\
a_m^1 x_1 + \cdots + a_m^n x_n = 0 \\
\end{array}
\right.
`$

したがって、次は同値。

1. $`x\in \mbf{R}^n`$ は、線形写像 $`f`$ の核の要素
2. $`A x = 0`$
3. $`x \in \mbf{R}^n`$ は、$`A`$ が決める連立方程式の解

像の行列表示

$`\quad x\in \mrm{img}(g)\\
\iff \\
\quad \exists t\in \mbf{R}^p.\, x = B t
`$

$`x = B t`$ を成分に展開して書くと：

$`
\left\{
\begin{array}{l}
x_1 = b_1^1 t_1 + \cdots + b_1^p t_p \\
\vdots \\
x_n = b_n^1 t_1 + \cdots + b_n^p t_p \\
\end{array}
\right.
`$

したがって、次は同値。

1. $`x\in \mbf{R}^n`$ は、線形写像 $`g`$ の像の要素
2. $`\exists t \in \mbf{R}^p.\, x = B t`$
3. $`x \in \mbf{R}^n`$ は、$`B`$ によりパラメータ（適当な $`t`$）表示できる。

線形代数で頻繁に使われる定理

準同型定理の変種だが、名前は特に決まってない。

• ベクトル空間 $`V`$ の任意の部分ベクトル空間 $`V' \subseteq V`$ は、線形写像の核としても像としても書ける。つまり、次のような線形写像 $`f, g`$ がある。
  • $`V' = \mrm{ker}(f)`$
  • $`V' = \mrm{img}(g)`$