$`R`$ を環（可換である必要はない）として、記号の乱用で、
$`\quad R = (R, +, 0, \cdot, 1)`$
と書く。まず、$`0\cdot x = 0`$ を示したい。そのためには、次を示せばよい。
$`\quad \forall r\in R.\, 0\cdot x + r = r`$
ベクトル空間のときと同じ議論を繰り返せばよい。
- $`0\cdot x + x = x`$ は言える。
- $`0\cdot (x + y) + (x + y) = (x +y)`$ は言える。
- 簡単な計算により $`0\cdot x + (x +y) = (x +y)`$ が示せる。
- 任意の $`r`$ は、適当な $`y`$ で $`r = x + y`$ と書けるので、上の結果の $`x + y`$ を $`r`$ に置き換えた $`0\cdot x + r = r`$ も言える。
上記の証明過程で、「適当な $`y`$」を $`y := r - x`$ として設定しているので、引き算を使っている。引き算が使えないと、この証明は通用しない。
次を証明したい。
$`0 = 1 \text{ in }R \implies R = \{0\}`$
上記の前件〈左側〉を仮定する。
$`\quad 0 = 1 \text{ in }R`$
この仮定のもとで、$`R = \{0\}`$ を示す。
$`x\in R`$ とする（$`x`$ は任意）。次の2つの命題は成立する。
- $`0 = 1`$ （仮定）
- $`x = x`$ （等号の性質）
左辺どおし・右辺どおしを掛け算して、
$`\quad 0\cdot x = 1\cdot x`$
$`0\cdot x = 0`$ だから、$`0 = x`$ が得られる。つまり、次が証明できた。
$`\quad \forall x\in R.\, x = 0`$
これは求めていた結論である。
