変数の約束：$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1} }
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%\newcommand{\twoto}{\Rightarrow }
%\newcommand{\op}{ \mathrm{op} } % used
\newcommand{\hyp}{\text{－} } % used
%\newcommand{\ILT}{ \triangleleft } % immediately less than
%\newcommand{\IGT}{ \triangleright } % immediately greater than
`$
- 非負実数： $`\lambda\in \mbf{R}_{\ge 0}`$ （多くの場合は正）
- 領域： $`r, s \in \u{R}`$
- 物質パラメーター： $`a, b \in M`$
- 状態空間： $`\Gamma = \mrm{SS}(a, r) \in |\mbf{Top}|`$
- 状態点： $`X, Y \in \mrm{SS}(a, r)`$
内容：
領域と物質領域
線形代数で「ベクトル」自体は未定義で、「ベクトル空間の要素」であるのと同様に、「領域」自体は未定義で、「領域空間の要素」である。
領域空間〈region space〉は、
$`\quad R = (\u{R}, +, 0, \cdot, \mrm{vol})`$
で：
- $`\u{R}`$ は集合
- $`(+): \u{R}\times\u{R}\to \u{R}, 0\in \u{R}`$ は可換モノイド演算（足し算）と単位元（ゼロ）
- $`(\cdot) : \mbf{R}_{\ge 0} \times \u{R} \to \u{R}`$ は非負スカラー倍。足し算と共に半ベクトル空間を構成する。
- $`\mrm{vol} : \u{R} \to \mbf{R}_{\ge 0}`$ は体積関数。半線形関数で、$`\mrm{vol}(x) = 0 \Iff x = 0`$
$`\mrm{vol}(r) = 1`$ である領域 $`r`$ を単位領域〈unit region〉と呼ぶ。単位領域の集合を $`\u{R}_{1}`$ と書く（ちょっと紛らわしい記法だが）。ゼロでないすべての領域は、単位領域のスカラー倍（正実数倍）で得られることを仮定する。
$`\quad (\u{R}\setminus \{0\}) \cong \mbf{R}_{\gt 0} \times \u{R}_{1}`$
$`M`$ は物質種と物質量をまとめて表すパラメーターの空間。$`R`$ を領域空間として、$`M\times \u{R}`$ の要素を物質領域〈regin with matter〉と呼ぶ。
エネルギー関数 $`\mrm{ene}`$ は、$`M\times \u{R}`$ 上の非負実数値関数だが、$`M`$ の値により決定される。$`M`$ 上のエネルギー関数を $`\mrm{Ene}`$ とすると、次が成立する。
$`\quad \mrm{ene}(a, r) = \mrm{ene}(a, \lambda\cdot r_1) = \lambda\mrm{Ene}(a)\\
\quad \text{where } r \ne 0, r_1 = \frac{1}{\mrm{vol}(r)}\cdot r
`$
$`a\in M`$ を固定した $`\mrm{ene}(a, \hyp)`$ は $`\u{R}`$ 上の半線形関数（たぶんだけど）。
状態空間の構造
物質領域の集合 $`M\times \u{R}`$ 上で定義されて、位相空間達の（大きい）集合 $`|\mbf{Top}|`$ に値をとる関数 $`\mrm{SS}`$ を考える。
物質領域 $`(a, s)`$ に対する値 $`\mrm{SS}(a, s)`$ は、物質パラメーター $`a`$ と（幾何的）領域 $`s`$ から決まる状態空間と考える。状態空間は位相を持つ。
関数 $`\mrm{SS}`$ の性質として次（指数法則）を仮定する。
- $`\mrm{SS}(a, s + t) = \mrm{SS}(a, s ) \times \mrm{SS}(a, t) \In |{\bf Top}|`$
- $`\mrm{SS}(a, 0) = \mbf{1} \In |{\bf Top}|`$
位相空間 $`X`$ と非負実数 $`\lambda`$ に対して、$`X^\lambda`$ は意味がないが、次の記法の約束をする。
$`\quad \mrm{SS}(a, s)^\lambda := \mrm{SS}(a, \lambda\cdot s)`$
$`\Gamma := \mrm{SS}(a, s)`$ のとき、上記の約束のもとで $`\Gamma^\lambda`$ は解釈できる。
一般に、位相空間 $`X`$ に対して、実数区間 $`[0, 1]`$ からの連続写像を、$`X`$ のパス〈path〉と呼ぶ。すべての $`X`$ のパスの集合を $`\mrm{Path}(X)`$ とする。
$`\mrm{SS}(a, r)`$ のパスの集合 $`\mrm{Path}( \mrm{SS}(a, r) )`$ には、物理的に決まる断熱的〈adiabatic〉なパスの集合 $`\mrm{Adia}( \mrm{SS}(a, r))`$ が特定されているとする。これにより、断熱的に可達〈adiabatically reachable〉という概念が定義できる。
$`\text{For }X, Y \in \mrm{SS}(a, r)\\
\quad X \to^{\mrm{AR}} Y :\Iff
\exists \gamma \in \mrm{Adia}( \mrm{SS}(a, r)).\, \gamma(0) = X \land \gamma(1) = Y
`$
正確に言えば、$`\mrm{SS}`$ の値は、単なる位相空間ではなくて、断熱的パスの集合を組み込んだ、断熱構造を持つ位相空間〈topological space with adiabatic structure〉とでもいうべきモノ。
断熱的パスを逆転〈reverse〉させたパスが断熱的パスとは限らないので、状態空間は有向位相空間〈directed topological space〉の構造を持つのだろう。
公理の問題点
- $`X \to X`$
- $` X \to Y, Y \to Z \Imp X \to Z`$
- $` X \to X', Y \to Y' \Imp (X , X' ) \to (Y, Y)`$
- $`\lambda \gt 0, X \to Y \Imp \lambda X \to \lambda Y`$
- $`X \to ( (1 - \lambda) X, \lambda X)`$
- $`(X, \epsilon Z_0) \to (Y, \epsilon Z_1) \: \epsilon \searrow 0 \text{ for some } Z_0, Z_1 ⇒ X \to Y`$
解釈の際に次の問題がある。
- 状態点 $`X, Y`$ などが、どの状態空間の点かが明示されてない。「プロファイリングしてねーだろ、クォラ！」と檜山が怒るヤツ。
- 同様だが、状態点のペアリングが、どの状態空間の点かが明示されてない。
- 状態点のスカラー倍が謎。
状態点のスカラー倍
スカラー（非負実数）倍は、領域空間 $`R`$ の半線形構造の一部なので、領域へのスカラーの作用は問題ない。物質領域に対するスカラー倍は次のように定義すればよい。
$`\quad \lambda\cdot (a, s) := (a, \lambda\cdot r)`$
状態空間のスカラー累乗は（前述のとおり）：
$`\quad \mrm{SS}( a, r)^\lambda := \mrm{SS}(\lambda\cdot(a, r) )`$
物質領域の空間 $`M\times \u{R}`$ の上に、やせた圏の構造を載せる。やせた圏 $`\cat{M}`$ は：
- 対象： $`|\cat{M}| = M\times \u{R}`$
- ホムセット： $`\text{For } (a, r), (b, s) \in |\cat{M}|`$
- $`(b, s) = \lambda\cdot (a, r)`$ のとき $`\cat{M}( (a, r), (b, s)) = \{(\lambda\cdot)\}`$
- それ以外のとき $`\cat{M}( (a, r), (b, s)) = \emptyset`$
関数 $`\mrm{SS}`$ を、$`\cat{M}`$ からの関手に拡張する。次を満たすと仮定する。
- $`\lambda \ne 0`$ である射 $`(\lambda\cdot) : (a, r)\to \lambda\cdot (a, r) \In \cat{M}`$ に対して、$`\mrm{SS}( (\lambda\cdot))`$ は、断熱構造を持つ位相空間の同型射である。
- $`\mrm{SS}( (0\cdot))`$ は、一点空間（終対象）への唯一の連続写像。
$`X \in \mrm{SS}(a, r)`$ に対する $`\lambda X`$ の意味は：
$`\quad \lambda X := \mrm{SS}( (\lambda\cdot) )(X) \in \mrm{SS}(\lambda\cdot(a, r) )`$
プロファイルされた公理
矢印 $`\to`$ は、断熱的可達性 $`\to^{\mrm{AR}}`$ の意味。
1.
$`\For X \in \mrm{SS}(a, r)\\
\quad X \to X \In \mrm{SS}(a, r)
`$
2.
$`\For X, Y, Z \in \mrm{SS}(a, r)\\
\quad (X \to Y, Y \to Z \In \mrm{SS}(a, r) ) \Imp (X \to Z \In \mrm{SS}(a, r) )
`$
3.
$`\For X, X' \in \mrm{SS}(a, r),\; Y, Y' \in \mrm{SS}(b, s)\\
\quad (X \to X'\In \mrm{SS}(a, r)), (Y \to Y' \In \mrm{SS}(b, s)) \Imp
( (X , X' ) \to (Y, Y) \In \mrm{SS}(a, r)\times \mrm{SS}(b, s))
`$
4.
$`\For X, Y \in \mrm{SS}(a, r)\\
\For \lambda \gt 0\\
\quad
(X \to Y \In \mrm{SS}(a, r))\Imp
( \lambda X \to \lambda Y \In \mrm{SS}(\lambda\cdot(a, r) ) )
`$
5. ？？
6.
$`\For X, Y \in \mrm{SS}(a, r)\\
\For \epsilon \searrow 0\\
\text{If } \exists Z_0, Z_1 \in \mrm{SS}(b, r).\:
(X, \epsilon Z_0) \to (Y, \epsilon Z_1) \In \mrm{SS}(a, r) \times \mrm{SS}(\epsilon\cdot (b, r) )\\
\text{Then }\\
\quad X \to Y \In \mrm{SS}(a, r)
`$
公理の解釈
- 自明なパスが断熱的パスであることを要求している。
- 断熱的パスの連接が断熱的パスであることを要求している。
- 断熱的パスをペアリングした直積空間へのパスが断熱的パスであることを要求している。
- $`\mrm{SS}( (\lambda\cdot) )`$ が断熱的パスを断熱的パスに移すことを要求している。
- 矢印の前後のプロファイルが合わないので、イマイチわからん。（直感的意味はわかるが。）
- 直積空間のなかの断熱的パスのパラメーター族の射影は断熱的パスであることを要求している。
これらの公理だけではなくて、半線形空間／やせた圏と、そこからの状態空間関手 $`\mrm{SS}`$ の構造も、総合的に公理化しないとナニヤッテルカワカランと思う。
バンドル？
通常のパスではなくて、区間 $`[0, 1]`$ を底空間とする位相的バンドルを考えて、そのセクションを考えればいいのかも知れない。実数でパラメトライズされた位相空間の族を対象物とすることになる。それで公理5を解釈出来るかも知れない。
