https://m-hiyama-second.hatenablog.com/entry/2024/05/12/153801

$`\newcommand{\u}[1]{\underline{#1}}M = (\u{M}, (*), e)`$ をモノイドとして、例えば可換律は：

$`\quad \forall x, y\in \u{M}.(x* y = y*x)`$

次の正規表現で表される言い方は事実上同じ。

可換性〈可換律 | 交換法則〉のような命題に関して次の言い回しは（その場の微妙な使い分けがない限り）同義。

命題自体は論理式で書いたとしても、それに対する判断〈メタ命題〉は通常日本語で述べる。日本語ゆえの“ゆらぎ”や（個人の）口癖が入る。

日本語のゆらぎをさけるために論理（のモデル理論）で使われる記号は '$`\models`$' 。

$`\quad M \models \forall x, y\in \u{M}.(x* y = y*x)`$

'$`\models`$' は、英語だと "satisfies" と読むようだが、日本語なら「‥‥ は～～を満たす」とかだろう。

モノイド $`M`$ について語っていることが文脈から読み取れるなら、次のように略記する。

$`\quad \models \forall x, y.(x* y = y*x)`$

さらに、全称限量子も省略すれば：

$`\quad \models x* y = y*x`$

これは、今話題にしている（文脈から読み取れる）モノイドが可換律を満たすことを主張している。

次の言い回しはすべて同義。

これらは、当該命題を否定しているわけではない。モノイドの可換律に関して丁寧に言えば：

今話題にしているモノイドが可換律を満たすことは仮定しない。よって、可換律を使った証明もできない。しかし、「可換律が成立してない」とも断言はできないし、そう主張しているわけではない。たまたま可換律を満たしていることも可能性としてはある。が、その保証を得られてないので、可換性の仮定はしないのだ。

モノイドが可換性の否定に関しても、いくつかの表現がある。

すべてが論理的同値というわけではない。こういうのをキチンと区別するときは、次の概念を使う。