https://m-hiyama-second.hatenablog.com/entry/2021/08/23/105823

$% \newcommand{\In}{ \text{ in } } \newcommand{\R}{ {\bf R} } \newcommand{\Sy}[1]{ \langle #1 \rangle } \newcommand{\BL}{ (\![ } \newcommand{\BR}{ ]\!) } \require{color}% \newcommand{\Keyword}[1]{ \textcolor{green}{ \bf \text{#1} } }% \newcommand{\Where}{\Keyword{Where } } \newcommand{\For}{\Keyword{For } } \newcommand{\Iff}{\Leftrightarrow } \newcommand{\Imp}{\Rightarrow } \newcommand{\hyp}{\text{-}}$
実数体上のベクトル空間の圏 ${\bf Vect}_\R$ で話をする。が、以下の話は、具体例を書き変えれば、半環 $S$ 上の{半}?ベクトル空間の圏でも通用する。この記事だけの記法だが、クライスリ射をラテン文字、線形写像をギリシャ文字で書く（「焼畑農業式コミュニケーション」参照）。

線形結合の集合 $LinComb[\R](X)$ にベクトル空間構造を入れたベクトル空間を一時的に短く $F(X)$ と書く。ベクトル空間 $W\in |{\bf Vect}_\R|$ の台集合を $U(W)$ と書く。自由忘却随伴系〈free-forgetful adjunction〉（知らなきゃ知らないでいい）から次の規準的ホムセット同型が存在する。

$\quad {\bf Vect}_\R(F(X), W) \cong {\bf Set}(X, U(W)) \In {\bf Set}$

上のホムセット同型の右から左への同型射を $linExt_{X,W}$ とする。

$\quad linExt_{X, W} : {\bf Set}(X, U(W)) \to {\bf Vect}_\R(F(X), W) \In {\bf Set}$

$linExt_{X,W}$ は、自由忘却随伴系から規準的・一意的に決まるので任意性はない。

以下、 $linExt_{X,W}(f)$ を $f^\#$ と略記する。 $f^\#$ はギリシャ文字ではないが、全体として（ ${^\#}$ を含めて）線形写像を表す。 $f^\# = linExt_{X, W}(f)$ だから、 $f$ に対して $f^\#$ は一意的に決まる（クドイが強調しておく）。この「一意的に決まる」ことと、次の枠内の事実は別なことである。枠内に出てくる $\eta_X$ は規準的な埋め込み（モナド単位）。

$\psi:F(X) \to F(X) \In {\bf Vect}_\R$ が可逆線形写像であるとき、

$\psi^{-1};f^\# : F(X) \to W$ は線形写像である。
$\psi;(\psi^{-1};f^\#) = f^\#$
$(\eta_X;\psi);(\psi^{{-1}};f^\#) = \eta_X;f^\# = f$

1番目は、線形写像の逆写像は線形写像、線形写像と線形写像の結合〈合成〉は線形写像だから明らか。2番目は逆写像の定義から明らか。3番目は2番目の両辺に $\eta_X$ をプレ結合しただけ -- 結合〈composition〉の結合律〈associative law〉は使っている。

具体例を与えよう。 $X := \{1, 2\}$ として、 $g:X \to F(X)$ を次のように定義する。

$g(1) := \BL \frac{1}{2}\Sy{1} \BR \in F(\{1, 2\})$
$g(2) := \BL -\frac{3}{2}\Sy{1} + 1\Sy{2}\BR \in F(\{1, 2\})$

$\psi := g^\#$ とすると、 $\psi:F(\{1, 2\}) \to F(\{1, 2\}),\, \psi^{-1}:F(\{1, 2\}) \to F(\{1, 2\}) \In {\bf Vect}_\R$ の（標準基底に関する）行列表示は：

$\quad (\text{matrix presentation of }\psi) = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{3}{2}\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\\ \quad (\text{matrix presentation of }\psi^{-1}) = \begin{bmatrix} 2 & 3\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

$\rho := \psi^{-1}; f^\# = f^\# \circ \psi^{-1}$ と置くと、 $\rho$ は次の性質を持つ（上の枠内の事実参照）。

$\rho : F(\{1, 2\}) \to W$ は線形写像である。
$\psi;\rho = f^\#$
$(\eta_{\{1, 2\}};\psi);\rho = \eta_{\{1, 2\}};f^\# = f$

別な $g:\{1, 2\} \to F(\{1, 2\})$ を取っても同じことは成立する。例えば、

$g(1) := \BL \frac{1}{2}\Sy{1} \BR \in F(\{1, 2\})$
$g(2) := \BL \frac{1}{2}\Sy{2}\BR \in F(\{1, 2\})$

$\psi := g^\#$ として：

$\quad (\text{matrix presentation of }\psi) = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0\\ 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix}\\ \quad (\text{matrix presentation of }\psi^{-1}) = \begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2 \end{bmatrix}$

$\rho := \psi^{-1}; f^\# = f^\# \circ \psi^{-1}$ として：

$\rho : F(\{1, 2\}) \to W$ は線形写像である。
$\psi;\rho = f^\#$
$(\eta_{\{1, 2\}};\psi);\rho = \eta_{\{1, 2\}};f^\# = f$

もちろん、 $X = \{1, 2\}$ 以外の一般の集合 $X$ でも、

$\rho : F(X) \to W$ は線形写像である。
$\psi;\rho = f^\#$
$(\eta_X;\psi);\rho = \eta_X;f^\# = f$

図式で表現すると次のようになる。図式内では忘却関手 $U$ をちゃんと書いている（省略されることが多い）。

$\xymatrix{ {X} \ar[r]^{f} \ar[d]_{g} &{U(W)} \\ {U(F(X))} &{} }\\ \In {\bf Set}\\ \xymatrix@C+2pc{ {F(X)} \ar[r]^{f^\#} \ar@/_/[d]_{\psi = g^\#} &{W} \\ {F(X)} \ar[ur]_{\rho = \psi^{-1}; f^\#} \ar@/_/[u]_{\psi^{-1}} &{} }\\ \In {\bf Vect}_\R$