モノイド閉圏の事例： 前置き

「モノイド閉圏の事例」はシリーズ記事になる予定です（何回になるかは不明）。定義と命題は書きますが、記述はかなりラフなものとなり、解説は最小限、または省略される（解説なし）かも知れません。（[追記]最終回の記事： モノイド閉圏の事例： オシマイ - (2nd) 檜山正幸のキマイラ飼育記[/追記]）

ドラフト状態で公開するので、後からの変更が激しくなるでしょう。単一の記事内での変更に留まらず、記事の構成が大幅に変化するかも知れません -- それは、記述・投稿の時間順序が論理的順序にはならないと思うからです。

内容：

• この事例について
• 用語と記法
• 露骨な表示

この事例について

モノイド閉圏〈monoidal closed category | 閉モノイド圏 | closed monoidal category〉の事例を提供します。この事例の名前（固有名）をSGMC（Simple Graphs with Monoidal Closed structure）とします。名前から想像できるように、SGMCのベースとなる圏（台圏）は単純グラフの圏SGです。

単純グラフの圏SGは、比較的簡単で扱いやすい圏ですが、その上にモノイド閉構造を載せたSGMCはあまり簡単ではありません。構造の具体的な定義や具体的な計算に手間がかかるのです。導入までの時間がかかり過ぎる点では、モノイド閉圏の学習用の事例には向いていません。

一方で、計算をガッツリ練習したい人には有意義な事例だと思います。具体的な計算をするための計算デバイス*1が必要なので、計算デバイスの構成も一連の記事内で扱います。紹介する計算デバイス（ラムダ計算の変種）が最良の計算手法かどうか分かりませんが、必要な計算は実行できます。

具体的な計算は計算用紙を消費するだけで面白くはありません。ひたすらドブ板計算です。圏論ではドブ板計算に頼る場面は思いの外多く、2008年の記事で「圏論は、ほぼ計算だけ」と言ってます（ちょっと言い過ぎたけど）。

• 自己関手の圏とモナド // 余談：圏論は、ほぼ計算だけ

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[追記]これより下はもはやあまり意味がない。引き続く記事内に定義と記述がある。[/追記]

用語と記法

二項演算子記号とコンビネータの記号

名称	図式順記法	反図式順記法	備考
適用	. （ドット）	-(-)
結合	;
モノイド積	□	□	同じ
ヒゲ結合	;		オーバーロード
右カリー化		rΦ	いつもは rΛ
左カリー化		ℓΦ	いつもは ℓΛ
右反カリー化		rΨ	いつもは rΓ
左反カリー化		ℓΨ	いつもは ℓΓ

内部二項演算子記号と内部コンビネータの記号

図式順外部演算	図式順内部演算	反図式順外部演算	反図式順内部演算
.	->- （into と読む）	-(-)	-<->
;
		rΦ	rφ
		ℓΦ	ℓφ
		rΨ	rψ
		ℓΨ	ℓψ

二項演算子記号の使用目的

記号	使用目的
., -(-)	写像〈射〉の値, 関手の値, 自然変換の値〈成分〉
;,	射の結合, 自然変換の縦結合
*, ・	関手の結合, 自然変換の横結合
(-)^	bump-upオペレーター

露骨な表示

随伴系の単位と余単位の露骨な〈陽な | explicit〉表示をメモしておきます。

対象 A∈|SG| が定義する随伴系 ^AΣ の単位 ^Aη、ただし、左肩のAは省略。

• η := ^Aη （略記）

η::SG^⇒[A, -□A]:SG→SG

X.η:X→[A, X□A]
:= (
     λ0x∈X.(
        λ0∈A. (x, a) ∈X□A
        ALSO
        λ1(a→a')∈A. (x, a→a') ∈X□A
      )
     ALSO
     λ1(x→x')∈X.(
       λ01a∈A. (x, a)→(x', a) ∈X□A
     )
   )

対象 A∈|SG| が定義する随伴系 ^AΣ の余単位 ^Aε、ただし、左肩のAは省略。

• ε := ^Aε （略記）

ε::[A, -]□A⇒SG^:SG→SG

X.ε:[A, X]□A→X
:= (
    λ0(f, a)∈[A, X]□A. f(a) ∈X
    ALSO
    λ1(f⇒f', a)∈[A, X]□A. (f⇒f')a ∈X
    OR
    λ1(f, a→a')∈[A, X]□A. f(a→a') ∈X
   )