次の同型が成立する。$`\newcommand{\cat}[1]{ \mathcal{#1} }
\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} }`$
$`\prod_{i \in I} {\bf Set}[X, A[i] ] \cong
{\bf Bun}[I](X \times I, \sum_I A[\bullet]) \\ \cong
{\bf Fam}[I](\mrm{K}^X_I, A[\bullet])
`$
名前だけ変えると：
$`\prod_{i \in I} {\bf Set}[X, A[i] ] \cong
{\bf FibSet}[I](X \times I, \sum_I A[\bullet]) \\ \cong
{\bf IndSet}[I](\mrm{K}^X_I, A[\bullet])
`$
類似も成立するだろう。
$`\prod_{i \in \cat{I}} {\bf Cat}[\cat{X}, \cat{A}[i] ] \cong
{\bf FibCat}[\cat{I}](\cat{X}\times \cat{I}, \sum_{\cat{I} } \cat{A}[\bullet])\\ \cong
{\bf IndCat}[\cat{I}](\mrm{K}^\cat{X}_\cat{I}, \cat{A}[\bullet])
`$
より一般に、
$`\prod_{i \in \cat{I}} {\bf Cat}[\cat{X}[i], \cat{A}[i] ] \cong
{\bf FibCat}[\cat{I}](\sum_\cat{I} \cat{X}[\bullet], \sum_\cat{I} \cat{A}[\bullet])\\ \cong
{\bf IndCat}[\cat{I}](\cat{X}[\bullet], \cat{A}[\bullet])
`$
集合に戻れば：
$`\prod_{i \in I} {\bf Set}[X[i], A[i] ] \cong
{\bf FibSet}[I](\sum_I X[\bullet] , \sum_I A[\bullet]) \\ \cong
{\bf IndSet}[I](X[\bullet], A[\bullet])
`$
