https://kiririmode.hatenablog.jp/entry/20110924/p1

集合 G に写像 $f: G \times G \rightarrow G$ が与えられており、 $f(a,b) = ab \hspace{1em} (\forall a,b \in G)$ と書くとき、

$\forall a,b,c\in G\;(ab)c = a(bc) \hspace{1em}$
$\forall a \in G\Rightarrow \exists e \hspace{1em}ae=ea=a$
$\forall a \in G\Rightarrow \exists x \hspace{1em}ax=xa=e$

を満たす G を群と言う。
ここで、 $e$ は単位元、 $x=a^{-1}$ は逆元と呼ばれる。

さらに、 $\forall a, b \in G$ に対して $ab = ba$ が成り立つとき $G$ を可換群(アーベル群)と言う。
$G$ が可換群のとき、演算 $ab$ を $a+b$ と書くことがあり、 $G$ を加法群と言う。

整数の全体 $\mathbb{Z}=\{0,\pm 1, \pm 2, \cdots\}$ は数の加法に対して加法群であるが、自然数の全体 $\mathbb{N}$ は逆元が存在しないため、群にはならない。

群 $G$ の部分集合 $H$ が $G$ と同じ演算によって群になるとき、 $H$ を $G$ の部分群と言う。

問題

$G$ が群で $H, K$ が $G$ の部分群なら、 $H\cap G$ も $G$ の部分群であることを示せ。

回答

定義より、 $\forall a,b \in H\cap G$ について結合法則は成立する。
また、 $H$ は $G$ の部分群であるため、 $\exists e \in H$ 。また、部分群の定義より $H\subset G$ であるから $e \in H\cap G$ 。よって $\forall a \in G\cap G\;ae=ea=a$ 。
同様に、 $H$ は $G$ の部分群であるから、 $\forall a\in H\Rightarrow \exists a^{-1} \in H$ 。 $H\subset G$ より $\forall a\in H\cap G\Rightarrow \exists a^{-1} \in H\cap G$

共役部分群

$H$ が $G$ の部分群で $a\in G$ なら、 $aHa^{-1}$ も $G$ の部分群であり、これを $H$ の共役部分群という。

証明

結合法則の成立は定義より自明。
$e=aea^{-1}\in aHa^{-1}$ 。
$a\in A, h\in H$ について、 $aha^{-1}\in aHa^{-1}$ 。ここで $ah^{-1}a^{-1} \in aHa^{-1}$ をかけると、 $\left(aha^{-1}\right)\left(ah^{-1}a^{-1}\right)=ah\left(a^{-1}a^{-1}\right)h^{-1}a=a\left(hh^{-1}\right)a^{-1}=aa^{-1}=e$ 。

部分群の生成

群 $G$ の空でない任意の部分集合 $S$ を含む最小の部分群を $\ll S \gg$ と書き、 $S$ の生成する部分群という。 $S$ を $\ll S \gg$ の生成集合という。
$a\in G$ に対し、部分群 $\ll \{a\} \gg$ を $a$ の生成する部分群と言い、 $\ll a \gg$ と書く。1個の元から構成される群を巡回群と言う。
$\ll a \gg = \{ a^n;\; n\in \mathbb{Z}\}$

これを用いると、 $\mathbb{Z}=\ll 1 \gg$ 。

剰余類

群 $G$ の部分群 $H$ があるとき、 $G$ 上の関係 $\sim$ を $\forall a,b\in G\;a^{-1}b\in H\Leftrightarrow a\sim b$ と定める。これにより、 $G$ の類別が定まる。
$G$ の $H$ による左剰余類全ての集合を $G$ の $H$ による左商集合といい、 $G/H$ と書く。 $G/H$ が有限集合の場合、その元の個数 $\left\|G/H\right|$ を部分群 $H$ の $G$ での指数と言い、 $[G:H]$ とかく。

$a\in G, x\in H$ について、写像 $f_a:H\rightarrow aH$ は $H$ から $aH$ への全単射である。だから、もし $H$ が有限群なら、各類は $H$ と同数の元からなる有限集合である。

正規部分群

$N$ を $G$ の部分群とする。 $\forall a\in G, \forall x\in N$ に対して $axa^{-1}\in N$ が成り立つとき、 $N$ を $G$ の正規部分群という。

剰余群

群を $G$ 、正規部分群を $N$ とするとき、商集合 $G/N$ の元である剰余類 $aN, bN \;(a, b\in G)$ に対し、その積を $abN$ と定義する。このとき、この積に対して $G/N$ は群になる。

証明

$(aN\cdot bN)cN=(abN)(cN)=((ab)c)N=a(bc)N=aN(bN\cdot cN)$
$aN=(ae)N=aN\cdot eN$
$eN=(aa^{-a})N=aN\cdot a^{-1}N$

準同型写像

$G,G'$ を群、 $f$ を $G$ から $G'$ の写像とする。 $\forall a,b\in G$ に対して $f(ab)=f(a)f(b)$ が成り立つとき、 $f$ を $G$ から $G'$ の準同型写像という。
このとき、 $e,e'$ をそれぞれ $G,G'$ の単位元とすると、 $f(e)=e'$ 。および、 $f(a^{-1})=f(a)^{-1}$ が成り立つ。

証明

$f(e)f(e)=f(ee)=f(e)$ 。これに左から $f(e)^{-1}$ をかけると、 $f(e)=e'$ 。
また、 $f(a)f(a^{-1})=f(aa^{-1})=f(e)=e'$ 。これに左から $f(a)^{-1}$ をかけると、 $f(a^{-1})=f(a)^{-1}$ 。