Slackで通知が来ないという問題があったのですが、以下の手順により解決したので記録をまとめておきます。
1. Macのおやすみモードの確認
まずは、Mac自体のおやすみモード・集中モードがオンになっていないか確認しましょう。
私の場合、気づいたらオンになっていた、ということも何回かあったので、必ず最初に確認してください。
確認方法はOSのバージョンにより異なりますが、メニューバー (画面最上部に出ているバー) から確認できるはずです。
2. 通知センターの終了
以下を参考に、通知センターを終了させました。
すると通知のバッジが表示されるようになりました。
しかし音声が鳴らず、さらに以下の対応を行いました。
3. 「ユーザーインターフェースのサウンドエフェクトを再生」をオンに
システム環境設定を開き、「サウンド」を開きます。

「ユーザーインターフェースのサウンドエフェクトを再生」という項目があるので、ここのチェックを入れます。

これにより、無事に通知音も鳴るようになりました。
4. 備考
通知のトラブルシューティングに関してはSlackの公式も以下に情報をまとめています。
今回は自分のメモのためにも記録を残しましたが、基本的にはこちらを参考に進めれば解決するかなと思います。