Promise.prototype.finally が stage-3 になって、 ES polyfill集である core-js にも v2.5.0 で追加されたので、babel-runtime などを使っている場合はcore-jsのバージョンを上げるだけで finally を使えるようになってます。
しかし、TypeScriptの場合は型情報が必要なので、core-jsのアップデートだけでなく、次のnpm moduleを使って型情報の追加が必要になります。
TypeScript compiler (確認したのはv2.5.2) 的には、package.jsonに追加（して当然npm installなりyarnpkg installなりする）だけで利用可能になるようです。
ただし、RubyMine (v2017.2.3) はそれだけだと解釈できないようで、エディタ上は型エラーになります。vscodeだと問題ないので、TSでちょっと変わったことをするならやはりvscodeのほうがいいですね。
