https://emtubasa.hateblo.jp/entry/2018/12/31/022645

解法

$dp[i] =$ 駅 $i$ で止まるような駅 $i$ までのパターン数、のようにしていきたいところですが、連続して何駅止まったか、という情報が必要になるので無理です。
逆転の発想をして、 $dp[i] =$ 駅 $i$ を通過するような駅 $0$ ～ $i-1$ のパターン数、としましょう。
ダミーの駅 $0$ というものが存在し、ここを必ず通過している、と仮定します。初期状態では、 $dp[0] =1$ 、そして $dp[1] = 0$ です。
駅 $i$ で通過するには、駅 $i-1$ を通過している、駅 $i-1$ にはとまるが駅 $i-2$ で通過している、駅 $i-1$ と駅 $i-2$ にはとまるが駅 $i-3$ で通過している…駅 $i-1$ から駅 $i-K+1$ にはとまるが駅 $i-K$ で通過している、というパターンがあります。
結局はこのようになります。
$\displaystyle dp[i] = \sum_{j=min(0,i-K)}^{i-1} dp[j]$
これは、累積和なりを用いることで、簡単に計算することができます。
あとは、答えを求めるだけです。
駅 $N$ にはとまらなければならないので、駅 $N-1$ を通過している、駅 $N-2$ を通過してそれ以降とまる、駅 $N-3$ を通過してそれ以降とまる、…駅 $N-K+1$ を通過してそれ以降とまる、というパターンの総和になります。ここで、駅 $N$ はとまる必要があるので、先ほどと条件が少しことなることに注意してください。
ということで、答えは以下のようになります。
$\displaystyle \sum_{j=N-K+1}^{N-1} dp[j]$
あとは、 $10^{9}+7$ で割った余りをとることに注意しつつ計算していけばよいです。