https://emtubasa.hateblo.jp/entry/2018/12/31/010000

解法

はじめに、 $P(x,y) = x$ 番の人が $y$ 番の人に勝つ確率、としておきます。
$dp[i][j] = i$ 番目の人が、第 $j$ ラウンドで勝つ確率、とします。
初期状態は $dp[i][0] = 1$ であり、答えは $dp[i][K]$ をすべて見ればよいです。
簡単に言えば、 $i$ 番目の人が第 $j$ ラウンドで戦う可能性のある相手の集合を $S$ としたときに、
$\displaystyle dp[i][j] = dp[i][j-1] \times \sum_{l \in S}^{} \{P(i,l) \times dp[l][j-1] \}$
となります。
さて、ここからは $i$ が0-indexedであると仮定して話を進めたいと思います(その方が好都合だからです)。
$S$ に含まれる人を探していきます。第 $j$ ラウンドで $i$ 番の人が対戦する可能性のある人は、全部で $2^{j-1}$ 人います。そして、その人達の番号はすべて連番になっています。
ということで、その連番の最初がわかってしまえば、そこから $2^{j-1}$ 人を対象として上の式による計算を行えばいいわけです。
第1ラウンドについて考えてみると、 $i$ 番目の人は、 $i$ が奇数であれば $i-1$ 番目の人と、 $i$ が偶数であれば $i+1$ の人とのみ対戦を行います(0-indexedにしたことに気を付けてください)。
第2ラウンドについて考えてみると、0,1番の人は2,3番の人と、4,5番の人は6,7番の人と対戦を行うことになります。
これを繰り返すと、
第 $j$ ラウンドでは、 $2^{j-1}$ 人ごとにグループ分けをして、若い番号の人がいるグループから順番に0,1,2...と番号を振り、その後0と1、2と3…グループで対戦を行います。
なので、まず $i$ を $2^{j-1}$ で割った値を求めます(これを $x$ とします、切り捨てです)。すると、これがグループ番号となるので、あとは $x$ が偶数なら $x+1$ グループと、奇数なら $x-1$ グループと対戦を行います。
そして、 $x$ グループの先頭は、 $x\times 2^{j-1}$ となります。そこから $2^{j-1}$ 人が、今回 $i$ 番の人が対戦する可能性のある相手になります。
これにより、第 $j$ ラウンドにおける $i$ の対戦相手がわかったので、あとは遷移の式にしたがって計算をしていけば、答えを求めることができます。