https://egory-cat.hatenablog.com/entry/2022/02/16/115035

$n+1$ 羽以上の鳩を $n$ 個の巣箱に入れると，少なくとも１つの巣箱に2羽以上の鳩が入るというのが鳩の巣原理と呼ばれるものです．ほとんど当たり前と思えるものですが，これを使った面白い証明がいろいろと知られています．鳩の巣原理を使える形に問題を言い換える技法の巧妙さと，そこから鳩の巣原理一発で証明が終了してしまう気持ちよさを味わうことができます．
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この鳩の巣原理を無限集合の場合にも「集合 $X, Y$ に対し， $X$ の濃度が $Y$ の濃度より小さいとき， $Y$ から $X$ への単射は存在しない」という形に一般化できますが，もう少し強く次のことが言えます．

集合 $X, Y$ に対し， $Y$ が無限集合で ( $X$ は有限集合でも無限集合でもいい) $X$ の濃度が $Y$ の濃度より小さいとき，任意の写像 $f:Y\to X$ に対し，ある $x\in X$ が存在して $f^{-1}(x)$ の濃度は $Y$ の濃度と等しい．

よりシンプルな「無限集合を有限個に分割すると，いずれかは無限集合である」ことを証明に利用することもあります。例えば「有界な実数列は収束部分列を持つ」というボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理や，ディリクレのディオファントス近似定理の証明などです．
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$X, Y$ が共に無限集合の場合に無限集合版の鳩の巣原理が使える問題を紹介します．使うのは「濃度の大きい集合から小さい集合への単射は存在しない」という形のものです．

問題． $V\subset \mathbb{R}^2$ を高々可算な部分集合とする．このとき，任意の $p\not\in V$ に対し， $p$ を通る放物線のグラフ \begin{align} y=c_2x^2+c_1x+c_0,~~c_2\neq 0, \end{align}で， $V$ とは交わらないものが存在することを示せ．

解答

$p=(a,b)$ とおき，実数 $0\neq c\in \mathbb{R}$ に対し， $h_c:= c(x-a)^2+(y-b)$ とする．曲線 $h_c=0$ は $p$ を通る放物線のグラフである．

任意の $0\neq c\in \mathbb{R}$ に対し， $h_c=0$ がある $V$ の点を通ると仮定する．その点を $c$ ごとに一つ選んで $q_c \in V$ と書くことにする． $\mathbb{R}\backslash\{0\}$ は連続無限で $V$ は高々可算なので，ある $0$ でない実数 $c_1 \neq c_2$ に対し $q_{c_1}=q_{c_2}$ となる． $q_{c_1}=(a',b')$ とおくと，\begin{align}
\left\{\begin{array}{c} c_1(a'-a)^2+(b'-b)=0 \\ c_2(a'-a)^2+(b'-b)=0\end{array}\right.
\end{align}となる．辺々引くと $(c_1-c_2)(a'-a)^2=0$ より $a'=a$ であり，よって $b=b'$ も成り立つ．これは $p=q_{c_1}\in V$ を意味するが， $p\not\in V$ に矛盾する．

よって，ある $0\neq c\in \mathbb{R}$ に対し，放物線のグラフ $h_c=0$ は $V$ と交わらない．