https://egory-cat.hatenablog.com/entry/2020/07/17/115436

今日考える問題はこちら．

3桁の自然数 $100x+10y+z$ で $x(10y+z)=(10x+y)z$ を満たすものを全て決定せよ．

$x(10y+z)=(10x+y)z$ を $z$ について解くと $z=\cfrac{10xy}{9x+y}$ なのでこれが自然数となる $x=1,\cdots,9,~ y=0,\cdots,9$ を調べればいいのですが， $90$ 通りもあるのでもう少し工夫してみましょう．

まず， $y=0$ の場合， $xz=0$ となり， $x\neq 0$ なので $z=0$ となります．また， $y=z\neq 0$ の場合， $11xy=(10x+y)y$ より $x=y$ となり，ゾロ目の場合 $x=y=z$ が出てきます．
つまり， $100, \dots, 900, 111, \dots,999$ は条件を満たす3桁の数です．この自明な場合を除いた解を探してみましょう．

$x(10y+z)=(10x+y)z$ を $x$ について解くと $x=\cfrac{yz}{10y-9z}$ となります．これが自然数となるには，少なくとも $10y-9z\geq 1$ , $yz\ge 10y-9z$ でなければなりません．これだけでも候補をかなり絞ることができます．

$y,z$ が整数 $0\sim 9$ の範囲では $10y-9z\geq 1$ となるには $y\ge z$ でなければなりません ( $z\ge y+1$ なら $10y-9z\le 10y-9(y+1)=y-9\le 0$ となる.)
$yz\ge 10y-9z$ を変形すると， $z\ge \cfrac{10y}{9+y}$ となります． $y=0$ と $y=z$ の場合はもう考えたので， $y=1\sim 9,~y-1\ge z \ge \cfrac{10y}{9+y}$ の範囲で $x=\cfrac{yz}{10y-9z}$ が自然数となるものを探せばいいことになります．この範囲の $(y,z)$ は \begin{align}(5,4),(6,5),(6,4),(7,6),(7,5),(8,7),(8,6),(8,5),(9,8),(9,7),(9,6),(9,5)\end{align} の $12$ 個しかないので，この程度ならなんとか手計算の範囲でしょう．実際に計算してみると\begin{align}(x,y,z)=(1,6,4), (2,6,5),(1,9,5),(4,9,8) \end{align}が解であることが分かります．

以上より，冒頭の問題の答えは\begin{align}100, \dots, 900, 111, \dots,999,~164,~265,~195,~498\end{align}となります．

とりあえず答えは出せましたが，いまいちエレガントな感じがしません．もっとうまい方法はないでしょうか？

整数点のパラメータ表示は可能か？

ピタゴラス数の場合， $x^2+y^2=z^2$ を満たす整数点全体は \begin{align} x=n^2-m^2,y=2nm,z=n^2+m^2~~(n,m \in \mathbb{Z})\end{align}と書けました． $x(10y+z)=(10x+y)z$ についても同じようなパラメータ表示があれば，条件を満たす整数点を探すのに役に立ちそうです．

ですが $x(10y+z)=(10x+y)z$ を満たす整数点全体を多項式で表すのは難しそうです．例えば \begin{align} x=n(9n+m), y=m(9n+m), z=10nm~~(m,n\in \mathbb{Z})\end{align} は $x(10y+z)=(10x+y)z$ を満たす整数点を与えますが，全ての整数点を尽くしていません．例えば $(1,9,5)$ が抜けています．整数点を与える別の系列を考えることもできます． \begin{align} x=n(n+m), y=9n(n-m), z=5(n^2-m^2)~~(m,n\in \mathbb{Z})\end{align} は $(n,m)=(1,0)$ のとき $(x,y,z)=(1,9,5)$ ですが，今度は先ほどは表すことができた $(10,10,10)$ などが抜けています．また，どちらも $(2,6,5)$ を表すことができません．

最後に少し強めの予想を立てて終わりにします．

予想． $S=\{ (x,y,z)\in \mathbb{Z} \mid x(10y+z)=(10x+y)z\}$ とする．
どんな自然数 $r$ と $f_i(s,t),g_i(s,t),h_i(s,t)\in\mathbb{Z}[s,t],~1\le i\le r,$ に対しても \begin{align} S \neq \bigcup_{i=1}^r \bigl\{ \bigl(f_i(m,n),g_i(m,n),h_i(m,n)\bigr) \mid m,n\in\mathbb{Z}\bigr\} \end{align}

$f,g,h$ としては，変数の片方，または両方が出て来ないものを考えてもいいです．例えば， $f(s,t)=s, g(s,t)=s, h(s,t)=s$ とするとゾロ目を尽くすことができますし， $f(s,t)=2, g(s,t)=6, h(s,t)=5$ とすると1点 $(2,6,5)$ を表現できます．

この予想が正しい場合，集合 $S$ を陽に記述する何かうまい方法はあるでしょうか？逆にこの予想が間違っている場合，等号を成り立たせる最小の $r$ は何になるでしょうか？また，一般の2次斉次多項式 $F(x,y,z)\in \mathbb{Z}[x,y,z]$ の零点集合の整数点についてはどうなるでしょうか？

ここまでくると大学院生でも解けないかもしれません．