wattoさんのブログ記事の中の一部がどうしても腑に落ちないので書いてみる。最初に読んだ時から気になっていたが、その後やっぱり腑に落ちなかったので考えてみたのだ。
www.watto.nagoyaこの記事の中の更に一部
数学の世界では「背理法がほんとうに正しいのかどうか」を議論する際に、「円周率を十進表記したとき小数点以下に9が連続して現れる最大の回数はいくつか」という試問が提示されたことがあるそうだ。
連続して現れる回数は有限だから(もし無限なら無理数でなくなってしまう)答えは必ず存在するのだが、検証するには無限の手間がかかる、すなわち真か偽か判定不能な問いの一例だそうだ。
気になるのは、「有限だから最大値が存在する」という部分。円周率は特殊な数列なので実際には最大値が存在するかも知れない。そこを否定する訳ではない。最大値が存在しないが、無限に続くわけでもないということはあるだろう。「任意の自然数nに対して、円周率を十進小数表示した時に9がちょうどn回続く部分が存在する」という命題が成立すれば最大値は存在しない。一方、この命題は9が無限に続くことを意味しない。むしろちょうどn回で続きが終って次は別の数になると主張している。どんな自然数も有限の数だから、有限回続くとしか主張していないのだ。
背理法の問題というよりも否定の取り方の問題であろう。
これは読んでない本。
こっちは読んだ本だけど、今回のことに関連することは書いてなかったと思う。
追記：連続する数字の最大連続回数がない実数の例
0.909909990999909999909999990...
