世の中には無限が溢れている。無限キャベツとか無限モヤシとか無限ちからとか。
無限のその次とかを表す数を数学では順序数という。有限の数も順序数だけど。ふつうには自然数を全部並べたあとその次の数をωという順序数で呼ぶのだが、自然数を全部並べたその次というのが、数学を知らないと考えにくいかも知れない。
でもみんな表計算ソフトを使っているじゃないですか。そこにA1とかA2とかB1とかのセルがある訳ですよ。そして表にどんどん入力していくといくらでも縦に入力できるように思えるでしょ。実際、毎日作る無限モヤシを作る度にその日付を縦に入力していったら、無限に入力出来る。
そうやってA列に無限に入力した後で、B列にも何か普通の生姜焼きを作った日とかを入力したとする。そしてA列とB列を続けて数えた時のB1が無限の次、ω番目になる。
っていうことを考えたんだけど、なんか当たり前過ぎてわざわざブログに書く内容でもないという気がして書くのを止めようかと思ったのだ。だが、これは当たり前でもこれを踏まえて書く次のネタ（別記事）は少し面白い気がするので、まずこれを書いた次第である。
この記事は「数の本」の10章「無限数と無限小数」の前半、285ページから296ページまでをネタ元にしています。
ネタ元にしているだけで、この記事で書くのは本とは全然違う例である。
例えば、ラノベに登場する巨大学園を考える時に、もう大抵のことで読者は驚かないから、無限の生徒がいるという設定にしたとする。
1年1組に無限の生徒がいて、1年2組にも無限の生徒がいて、1年3組にも無限の生徒がいる。
その時に1年生全員を通しての番号を考えると、1年1組の生徒はその出席番号そのもので、2組の1番はω番目、2組の2番はω+1番目となり3組の1番はω+ω番目となる。
ここでω+ωは2ωじゃないかと思うかも知れないが、「数の本」では2ωという書き方をしていない。そもそも（数学的には）足し算が出来るのかということを考えなければならない。ω+1の場合には足し算というよりもωの次という意味であり、ω+2はωの次の次という意味だが、ω+ωは無限を2列並べたその次という意味である。かけ算についても書かれていて、そしてここでかけ算順序問題が発生するのである。しかし、この記事ではかけ算順序問題には深入りしたくないので、気になる人は「数の本」を読んで欲しい。
この巨大学園はなんと1学年あたりのクラスの数も無限なのである。つまりどんな自然数nを指定してもn組というクラスが存在するのだ。1クラスの生徒数が無限ということはどんな自然数の出席番号を指定してもその出席番号の生徒がいるということである。
この学校の生徒を1年1組1番、1年1組2番、……1年2組1番、1年2組2番というように順番に数えていって、1年を全部数え終って2年1組1番になったときの、その生徒の全体を通しての順番がω×ω番目になる（または、とする）。
さすがに巨大学園の例では学年が無限にあるというのは無理があるので、このへんで。
ところで話は変わるのだが、数学では基数と序数というように言うし、英語でも個数と何番目という順番は別の単語を使う訳だが、回数はどっちになるのだろう。5回やるとかいうと基数のようだが、5回目という言い方もあるので序数っぽいところもある。この辺が俺は混乱している。だいたい回数は自然数なのでどちらでもよいのだが。
