ド・ブロイ波からクライン–ゴルドン方程式とディラック方程式とシュレーディンガー方程式をひねり出します。
【注意】厳密な導出ではありません。単純化を優先しています。
目次
概要
クライン–ゴルドン方程式はシュレーディンガー方程式の相対論的拡張だと言われますが、シュレーディンガーによってシュレーディンガー方程式より前に発見されていました。
今回はシュレーディンガーの足跡を単純化して、クライン–ゴルドン方程式とシュレーディンガー方程式をひねり出します。
\square ϕ=-\left(\frac{mc}{\hbar}\right)^2ϕ
i\hbar\frac{dϕ}{dt}=Hϕ
【追記】ディラック方程式にも簡単に言及します。
Dϕ=\frac{imc}{\hbar}ϕ
ド・ブロイの関係式により、粒子のエネルギー $E$ と運動量 $p$ は、角周波数 $ω$ と波数 $k$ のド・ブロイ波 $ϕ$ に関連付けられます。
E =\hbar ω
,\quad p_x=\hbar k_x
,\quad p_y=\hbar k_y
,\quad p_z=\hbar k_z
ϕ(x,y,z,t)=e^{i(k_xx+k_yy+k_zz-ωt)}
ド・ブロイ波を偏微分すれば指数の肩から角周波数と波数が弾き出されます。
\frac{∂ϕ}{∂t}=-iω ϕ
\,,\quad \frac{∂ϕ}{∂x}= ik_xϕ
\,,\quad \frac{∂ϕ}{∂y}= ik_yϕ
\,,\quad \frac{∂ϕ}{∂z}= ik_zϕ
ド・ブロイの関係式を代入します。
\frac{∂ϕ}{∂t}=-\frac i{\hbar}E ϕ
\,,\quad \frac{∂ϕ}{∂x}=\frac i{\hbar}p_xϕ
\,,\quad \frac{∂ϕ}{∂y}=\frac i{\hbar}p_yϕ
\,,\quad \frac{∂ϕ}{∂z}=\frac i{\hbar}p_zϕ
エネルギーと運動量を左辺に持って来ます。
Eϕ=i\hbar\frac{∂ϕ}{∂t}
\,,\quad p_xϕ=-i\hbar\frac{∂ϕ}{∂x}
\,,\quad p_yϕ=-i\hbar\frac{∂ϕ}{∂y}
\,,\quad p_zϕ=-i\hbar\frac{∂ϕ}{∂z}
エネルギーと運動量がド・ブロイ波の偏微分と結び付きます。
相対論的ハミルトン–ヤコビ方程式から出発します。
\left(\frac 1 c \frac{∂S}{∂t}\right)^2-\left(\frac{∂S}{∂x}\right)^2-\left(\frac{∂S}{∂y}\right)^2-\left(\frac{∂S}{∂z}\right)^2=m^2c^2
作用 $S$ と物理量には以下の関係があります。
\frac{∂S}{∂t}=-E
\,,\quad \frac{∂S}{∂x}=p_x
\,,\quad \frac{∂S}{∂y}=p_y
\,,\quad \frac{∂S}{∂z}=p_z
これを相対論的ハミルトン–ヤコビ方程式に代入します。
\left(\frac E c\right)^2-p_x^2-p_y^2-p_z^2=m^2c^2
ド・ブロイ波に作用する等式と見なせば、クライン–ゴルドン方程式が得られます。
\begin{aligned}
\left\{\left(\frac E c\right)^2-p_x^2-p_y^2-p_z^2\right\}ϕ&=m^2c^2ϕ \\
\left\{\left(\frac{i\hbar}c\frac ∂{∂t}\right)^2-\left(i\hbar\frac ∂{∂x}\right)^2-\left(i\hbar\frac ∂{∂y}\right)^2-\left(i\hbar\frac ∂{∂z}\right)^2\right\}ϕ&=m^2c^2ϕ \\
\left(-\frac{\hbar^2}{c^2}\frac{∂^2}{∂t^2}+\hbar^2\frac{∂^2}{∂x^2}+\hbar^2\frac{∂^2}{∂y^2}+\hbar^2\frac{∂^2}{∂z^2}\right)ϕ&=m^2c^2ϕ \\
\left(\frac 1{c^2}\frac{∂^2}{∂t^2}-\frac{∂^2}{∂x^2}-\frac{∂^2}{∂y^2}-\frac{∂^2}{∂z^2}\right)ϕ&=-\frac{m^2c^2}{\hbar^2}ϕ \\
\square ϕ&=-\left(\frac{mc}{\hbar}\right)^2ϕ
\end{aligned}
クライン–ゴルドン方程式にはダランベルシアンが現れるため、出発点となった相対論的ハミルトン–ヤコビ方程式よりも単純な形をしているのが興味深いです。
※ ナイーブに $ϕ$ をド・ブロイ波としていますが、厳密にはクライン–ゴルドン場です。
クライン–ゴルドン方程式は2階の微分方程式です。ダランベルシアンの平方根として定義されるディラック作用素 $D$ によって1階にしたのがディラック方程式です。
\begin{aligned}
\sqrt{\square}ϕ&=\sqrt{-\left(\frac{mc}{\hbar}\right)^2}ϕ \\
Dϕ&=\frac{imc}{\hbar}ϕ
\end{aligned}
かなりの荒技ですが、ディラックの天才的な発想によります。
※ $ϕ$ はディラック場で、クライン–ゴルドン場とは要素数が異なります。
非相対論的ハミルトン–ヤコビ方程式から出発すれば、シュレーディンガー方程式が得られます。
\begin{aligned}
\frac{∂S}{∂t}&=-H \\
-E&=-H \\
Eϕ&=Hϕ \\
i\hbar\frac{∂ϕ}{∂t}&=Hϕ
\end{aligned}
※ 一般的に演算子としてのハミルトニアンにはハットを付けます。
\hat H=i\hbar\frac ∂{∂t}
E=mc²
相対論的ハミルトン–ヤコビ方程式に作用と物理量の関係を代入した式を再掲します。
\left(\frac E c\right)^2-p_x^2-p_y^2-p_z^2=m^2c^2
これに $p _ x=p _ y=p _ z=0$ を代入すれば、有名なアインシュタインの公式が得られます。
\begin{aligned}
\frac{E^2}{c^2}&=m^2c^2 \\
E^2&=m^2c^4 \\
E&=mc^2
\end{aligned}
参考
以下の本ではシュレーディンガーの試行錯誤が簡潔に説明されています。クライン–ゴルドン方程式がシュレーディンガー方程式より前に発見されたのに興味を覚えてこの記事を書きました。
Wikipediaも参考にしました。
今回の話題に関連するブログ記事を紹介します。
クライン–ゴルドン方程式やディラック方程式の極限としてシュレーディンガー方程式を導く記事です。
水素原子の計算について書かれた記事です。クライン–ゴルドン方程式はスピン0の粒子しか扱えないため、水素原子は正確に計算できません。
この話題についてのコメントです。
ディラック作用素については以下の記事を参照してください。
ディラック作用素は物理に限らず数学にも大きな影響を及ぼしています。
